¡Es realmente una sensación increíble escribir una respuesta a una pregunta que incluso Einstein o Bohr se habrían rascado la cabeza hace más de cien años!
Para comprender lo que significa la función de onda, debemos apreciar cómo los físicos han utilizado minuciosamente palabras en inglés de fácil acceso para describir fenómenos complejos. Una ‘función de onda’ es literalmente eso: una ecuación para una onda.
Considere el ejemplo más simple de una partícula en una caja 1-D. La solución para esto se ve así:
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[matemáticas] \ Psi = \ sum_ {n} A_ {n} \ psi_ {n} = \ sum_ {n} \ sqrt \ frac {2} {l} \ sin (\ frac {n \ pi x} {l} ) [/matemáticas]
Ahora, si olvida el hecho de que esto tiene algo que ver con la mecánica cuántica y solo mira la ecuación desde un punto de vista puramente matemático, verá que cada uno de esos [math] \ psi_ {n} [/ math] s es esencialmente una onda sinusoidal.
He planeado algunos de ellos para ti.
Para n = 1, obtenemos 
Para n = 2, obtenemos 
Para n = 3, obtenemos 
Estoy seguro de que has visto estas imágenes de una forma u otra muchas veces. Lo que debe tener en cuenta es que hay dos conceptos importantes que juegan un papel importante aquí: ondas estacionarias y superposición lineal .
Cada una de esas gráficas anteriores representa una onda estacionaria y corresponde a diferentes valores de energía (porque diferentes valores de n corresponden a diferentes energías). Entonces, la segunda gráfica describe una partícula con energía correspondiente a la energía asociada con n = 2. Dado que el módulo cuadrado de [math] \ psi [/ math] da la densidad de probabilidad, nos da una distribución que nos dice dónde está la partícula probable que se le dé un estado de energía particular.
La mecánica cuántica es única y diferente de la física clásica en cómo las ecuaciones de movimiento son lineales. Desde las matemáticas, si A y B son soluciones a una ecuación diferencial lineal particular (como es la ecuación de Schroedinger), entonces A + B también es una solución a la ecuación. Esto es relevante aquí porque si [math] \ psi_ {1}, \ psi_ {2}, \ psi_ {3} … [/ math] son soluciones a la ecuación de Schroedinger para la partícula en una caja, entonces también es una combinación lineal o superposición lineal de todas estas soluciones, que es [math] \ Psi [/ math].
Entonces, esencialmente, una función de onda ([matemática] \ Psi [/ matemática]) es una superposición de todas las soluciones posibles ([matemática] \ psi_ {n} s [/ matemática]; las funciones propias) de un sistema mecánico cuántico (como el partícula en una caja).
La segunda parte de la pregunta es más complicada. La mejor respuesta a por qué las variables físicas se usan como operadores es probablemente porque puede serlo . Una mejor pregunta sería cómo un operador representa una variable física y eso requiere mucho tecnicismo. Pero debe saber que los operadores correspondientes a los observables físicos deben tener valores propios reales (porque los valores de las cosas que medimos físicamente no pueden ser imaginarios) y los operadores en mecánica cuántica también son reversibles. Ambas condiciones se cumplen con matrices ‘Hermitianas’ y son los operadores utilizados en la mecánica cuántica.
Para responder a la última parte, cuando operamos un operador en una función de onda, digamos el operador de energía en [math] \ Psi [/ math], luego la medición colapsa la superposición y terminamos uno de los [math] \ psi_ {n } s [/ matemáticas]. Suponga que el estado colapsó a [math] \ psi_ {3} [/ math], esto significa que n = 3 y la función de onda se parece a la del tercer diagrama. Pero lo que medimos es el valor propio, que es la energía correspondiente a n = 3. Esto explica por qué la medición de un parámetro físico de la partícula solo dará los valores propios correspondientes al estado propio en el que se colapsó la medición. Si su pregunta significa “¿por qué la operación de una variable física debería dar un valor propio correspondiente a esa variable física?”, Bueno, puede decir, a partir del análisis dimensional, que dado que la función de onda (y las funciones propias) no tienen unidades, el operador y el El valor propio debe tener las mismas unidades y, en consecuencia, representar la misma variable física.
