El espacio de Minkowski es diferente en comparación con el espacio euclidiano estándar al que estamos acostumbrados. Sabemos que el espacio de Minkowski es más preciso para describir nuestro mundo que el espacio euclidiano y, por lo tanto, necesitamos eliminar nuestros vectores tridimensionales normales y reemplazarlos con los cuatro vectores de posición y velocidad.
En el espacio euclidiano que usa la física newtoniana, hay tres direcciones espaciales mutuamente perpendiculares caracterizadas por coordenadas x , y y z , y el tiempo se considera invariante, es decir, algo que es igual para todos universalmente. Pero la relatividad nos enseñó que este no es el caso y que el tiempo debe ser tratado como una dimensión sobre la misma base que las dimensiones espaciales y que vivimos en un espacio-tiempo 4-D. Ahí es donde surge la necesidad de los cuatro vectores.
Para marcar un evento, no solo necesitamos especificar sus coordenadas espaciales sino que también debemos especificar el momento en que ocurre y ese tiempo puede ser diferente para diferentes observadores.
Entonces, en lugar de usar,
Usamos,
(donde [math] {e_x, e_y, e_z, e_t} [/ math] son solo vectores básicos).
En el espacio euclidiano ordinario, la velocidad de un objeto se define como la tasa de cambio de posición en el tiempo. El tiempo en este caso se toma para ser universalmente constante. Sin embargo, sabemos que no es el caso en realidad. Para dar sentido a una velocidad a través del espacio de Minkowski teniendo en cuenta que este tipo de espacio tiene 4 componentes de ‘posición’, necesitamos una invariante diferente para especificar la tasa de cambio. En el espacio Minkowski que obedece a las transformaciones de Lorentz, tenemos un invariante particularmente famoso que se conoce como el momento adecuado.
Momento apropiado:
La tasa de cambio de tiempo de la posición de cuatro vectores con respecto a este tiempo propio invariante será la velocidad de cuatro vectores.
De la definición anterior de tiempo apropiado, podemos ver claramente que:
[matemáticas] {\ triangle \ tau = \ triangle t \ sqrt {1 – v ^ 2 / c ^ 2}} [/ math]
(donde v es el vector de velocidad 3-D normal).
El primer componente del vector de velocidad, que es el componente “tiempo”, está dado por: [matemáticas] {U_t = dt / d \ tau = 1 / \ sqrt {1 – v ^ 2 / c ^ 2} = \ gamma} [/ matemáticas]
Del mismo modo, los componentes espaciales de 4 velocidades están dados por:
[matemáticas] {U_x = dx / d \ tau = dx / dt \ cdot dt / d \ tau = u_x \ gamma} [/ matemáticas]
[matemáticas] {U_y = dy / d \ tau = dy / dt \ cdot dt / d \ tau = u_y \ gamma} [/ math]
[matemáticas] {U_z = dz / d \ tau = dz / dt \ cdot dt / d \ tau = u_z \ gamma} [/ matemáticas]
(donde [math] {u_x, u_y, u_z} [/ math] son los componentes espaciales 3-D normales de la velocidad).
La primera ventaja principal que percibí de la formulación de la velocidad en cuatro vectores fue la comprensión de la fórmula del momento relativista y la relación entre el momento y la energía que vemos en la relatividad.
En relatividad, el impulso no es [matemática] {mv} [/ matemática] sino [matemática] {mv \ gamma} [/ matemática]. Algunos lo interpretan como una partícula con velocidad v pero masa que aumenta con la velocidad y se convierte en [matemáticas] {m \ gamma} [/ matemáticas]. Sin embargo, si queremos que la masa sea invariante, simplemente podemos ver el impulso como el producto de la masa y la velocidad invariantes, que es el componente de la velocidad de cuatro vectores en el espacio de Minkowski y no el ordinario como en el espacio euclidiano. La velocidad a través del espacio-tiempo es la que viene dada por el vector de velocidad 4.
Momento en la dirección x = [matemática] {mU_x = m \ gamma v_x} [/ matemática]
Momento en la dirección y = [matemáticas] {mU_y = m \ gamma v_y} [/ matemáticas]
Momento en la dirección z = [matemáticas] {mU_z = m \ gamma v_z} [/ matemáticas]
Momento en la dirección t = [matemática] {mU_t = m \ gamma} [/ matemática]
La expresión que obtenemos para el impulso en t es exactamente igual a [math] {E / c ^ 2} [/ math]. Esto es una indicación de que la energía es solo uno de los componentes de los cuatro momentos y es por eso que la energía y el momento están tan relacionados en la relatividad.
En resumen, los cuatro vectores nos ayudan a comprender los matices más finos de la relatividad.
