¿Cómo se descubrió que un electrón gira alrededor de sí mismo? Si es así, ¿a dónde?

Ningún físico le dirá qué está girando realmente en el electrón, porque no tienen un modelo funcional para las partículas fundamentales.

Como expliqué en otras respuestas, el electrón y otras partículas fundamentales parecen estar constituidas por fotones de una energía determinada con precisión, que giran en órbitas circulares. La energía correspondiente a los protones que constituyen el fotón es aproximadamente 1836 veces mayor que la correspondiente al fotón que constituye el electrón o el positrón.

Este modelo de electrones proporciona la explicación de espín, inercia y gravitación.

Pauli lo sugirió, Dirac lo incluyó en su QM relativista (con algunos físicos que también tienen la idea).

Deje de visualizar el electrón como una pelota de fútbol pequeña. Eso no funciona, el giro representa la rotación real, aunque no la rotación clásica, pero QFT tiene partículas como excitaciones de campo cuántico.

Spin es una propiedad intrínseca de las partículas elementales de manera similar a la carga eléctrica y la carga de color son propiedades intrínsecas. La razón es que todas las partículas elementales residen en una plataforma privada que flota en un continuo de fondo. El continuo de fondo se describe mediante una función que aplica un sistema de coordenadas seleccionado. La plataforma privada tiene un sistema de coordenadas privado y las propiedades de simetría de ese sistema de coordenadas determinan las propiedades intrínsecas mencionadas. Spin se detectó observando el comportamiento de las partículas elementales en un campo magnético. Ver: Proyecto de modelo de libro de Hilbert / Modelo de libro de Hilbert

El giro en la teoría atómica es un mero efecto o grado de libertad o variable y no tiene semejanza con el giro clásico porque JJ Thomson no ha visto ni identificado geométricamente la masa del electrón más allá del simple cálculo.