¿Qué es una explicación intuitiva de las variables de Mandelstam?

Para una dispersión de 2 a 2, tenemos 4 variables de momento, cada una con 4 componentes. Estos 16 números son todas las variables cinéticas que podemos tener para este proceso y, por lo tanto, la amplitud es solo una función de ellos, sin ninguna otra dependencia.

Pero los 16 números no son independientes. Tenemos 4 condiciones de caparazón de masa y 4 ecuaciones de conservación de momento, que eliminan la mitad de ellas.

Luego tenemos la invariancia de Lorentz, que es de 6 dimensiones, por lo que ingenuamente podemos quedarnos con 2 variables independientes. Pero para la dispersión de 2 partículas, una de las transformaciones de Lorentz, la rotación alrededor de la velocidad relativa, es una simetría de espacio de fases. Como resultado, solo 5 son eliminados por la invariancia de Lorentz.

Específicamente, puede ver esta eliminación de la siguiente manera: primero, amplíe todo el sistema al marco del centro de masa, lo que significa que 3 de los componentes de momento total son redundantes; entonces, la dirección de las partículas entrantes se puede establecer a mano, por lo que los ángulos espaciales (2 de ellos) del momento entrante también son redundantes. (Si tenemos tres o más partículas en el estado inicial, entonces el ángulo de Euler de toda la configuración puede ser fijo, lo que significa que 3 ángulos son redundantes. Este es el resultado general que mencioné como “ingenuo” en el último párrafo).

Finalmente, 16-4-4-5 = 3, tenemos 3 variables independientes para describir la cinemática de este proceso de dispersión. Queremos que sean invariantes de Lorentz. Por construcción, obtenemos las variables de Mandelstam. Estas son, hasta cierto punto, la elección humana, porque hay arbitrariedad en la elección de estas 3 variables independientes. Resulta que las variables construidas por Mandelstam son fáciles de usar en fenomenología. Eso es.

Si bien las respuestas dadas aquí son correctas, no son muy intuitivas. Esto es comprensible, ya que la cinemática relativista no es el tipo de cosas que la mayoría de las personas come en el desayuno. La forma en que generalmente explico esto es la siguiente:

En un proceso de dos cuerpos como {beam} + {target} → {scatter} + {retroceso}, una partícula de haz golpea un objetivo. El objetivo retrocede de la colisión, mientras que la partícula del haz se dispersa. Tenga en cuenta que el tipo de partícula tanto del haz como del objetivo puede cambiar durante el proceso.

En dicho proceso, s es el cuadrado de la energía cm, t es el cuadrado del momento transferido desde la partícula objetivo a la partícula de retroceso (a través de la partícula del haz) yu es el cuadrado del momento transferido desde la partícula del haz a la partícula de retroceso (a través de la partícula objetivo).