El tensor de Einstein [matemática] G _ {\ mu \ nu} [/ matemática] y el tensor de energía de estrés [matemática] T _ {\ mu \ nu} [/ matemática] son equivalentes en relatividad general. De hecho, la ecuación de campo está escrita
[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas],
donde he establecido algunas constantes a 1 (unidades de Planck usadas).
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Sin embargo, existe una diferencia filosófica (y, en el caso de la gravedad cuántica, física) entre ellos. El tensor de Einstein es una versión inversa del tensor de Ricci [matemáticas] R _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] y, por lo tanto, tiene que ver con la curvatura del espacio:
[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} g ^ {\ sigma \ tau} R _ {\ tau \ sigma} g _ {\ mu \ nu} [ /matemáticas],
mientras que el tensor de energía de estrés codifica la distribución de energía-momento en el sistema. Esto es dado por
[matemáticas] T _ {\ mu \ nu} = \ frac {2} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta
\ left (\ mathcal {L} _ {matter} \ sqrt {-g} \ right)} {\ delta g _ {\ mu \ nu}} [/ math]
con [math] \ mathcal {L} _ {matter} [/ math] el lagrangiano que describe los campos (matter / gauge) presentes en el sistema; por ejemplo, el modelo estándar Lagrangian, y [math] g [/ math] representa el determinante del tensor métrico (que siempre es negativo en el caso físico de una variedad lorentziana). Por supuesto, este es un objeto cuántico (un operador), mientras que la única forma de entender [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] es clásica, por lo que tendemos a escribir (explícitamente o no) la ecuación de Einstein como
[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = \ langle \ psi | T _ {\ mu \ nu} | \ psi \ rangle [/ matemáticas],
por ejemplo, [math] G _ {\ mu \ nu} [/ math] es en realidad el valor esperado de la energía del estrés. Esto probablemente sea incorrecto, ya que parece absurdo tener un valor de expectativa en un lado de una ecuación y ninguno en el otro, pero es por eso que no tenemos una teoría de la gravedad cuántica: no sabemos qué [matemática] \ langle \ psi | G _ {\ mu \ nu} | \ psi \ rangle [/ math] significa, ya que no tenemos medios consistentes para promover [math] G _ {\ mu \ nu} [/ math] a un operador.
El tensor Ricci es el tensor que codifica la curvatura del espacio *, que podemos escribir como
[matemáticas] R _ {\ mu \ nu} = \ partial_ \ sigma \ Gamma ^ {\ sigma} _ {\ mu \ nu} – \ partial_ \ mu \ Gamma ^ {\ sigma} _ {\ sigma \ nu} + \ Gamma ^ \ sigma _ {\ sigma \ mu} \ Gamma ^ \ tau _ {\ tau \ nu} – \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ tau} \ Gamma ^ \ tau _ {\ sigma \ mu} [/ math],
[matemáticas] \ Gamma ^ \ sigma _ {\ mu \ nu} = \ frac {1} {2} g ^ {\ sigma \ tau} \ left (\ partial_ \ mu g _ {\ nu \ tau} + \ partial_ \ nu g _ {\ mu \ tau} – \ partial_ \ tau g _ {\ mu \ nu} \ right) [/ math]
mientras que [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] es el tensor métrico, que se define para que tengamos [math] | dx | ^ 2 = g _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} [/ math], o equivalente, [math] x _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} x ^ {\ nu} [/ math]. Finalmente, definimos el objeto [math] g ^ {\ mu \ nu} [/ math] para que
[matemáticas] g ^ {\ mu \ sigma} g _ {\ sigma \ nu} = g _ {\ sigma \ nu} g ^ {\ mu \ sigma} = \ delta ^ {\ mu} _ {\ nu} [/ math ],
por ejemplo, [math] g ^ {\ mu \ nu} [/ math] actúa como el inverso del tensor métrico. Físicamente, uno puede pensar en el tensor métrico como la cosa que define las distancias en un espacio: es la métrica (por eso la llamamos tensor métrico) bajo la cual medimos la longitud de los vectores.
* Al menos los componentes de la curvatura sensibles a la energía del estrés. Hay componentes adicionales (libres) del tensor de curvatura real (el tensor de Riemann, de forma algo confusa, también llamado [matemática] R [/ matemática] pero con 4 índices), que juegan un papel importante en la capacidad de la gravedad para propagarse sin un medio.
