Esta es una pregunta interesante, y me sorprende que no se haya hecho antes. La respuesta corta será que es la consecuencia de la simetría de los armónicos esféricos [matemáticas] Y ^ m_l [/ matemáticas].
La respuesta larga comienza con la forma del hamiltoniano para el átomo de hidrógeno. Usaré unidades atómicas [matemáticas] \ hbar = e = m_e = 4 \ pi \ epsilon_0 = 1 [/ matemáticas] para cortar la basura.
Si uno trata el núcleo como una partícula puntual, ignora los efectos de espín y asume que la ley de Coloumbs es válida (todas las aproximaciones de primer orden muy razonables que han demostrado ser válidas mediante experimento, a muchos decimales, aunque los otros efectos también son medibles , pero son bastante pequeños) [matemática] \ hat {H} = – \ frac {1} {2} \ nabla ^ 2- \ frac {1} {r} [/ math]. El operador laplaciano [math] \ nabla ^ 2 [/ math] toma una forma interesante en las coordenadas polares esféricas (que son de la simetría correcta para resolver tales sistemas): /main-qimg-284b99e70bbe42d4041103f3b90ec01c.gif)
Coordenadas polares esféricas (de coordenadas esféricas)
El laplaciano es:
[matemáticas] \ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ partial r} r ^ 2 \ frac {\ partial} {\ partial r} [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac {\ hat {L} ^ 2} {r ^ 2} [/ math], donde [math] \ hat {\ vec {L}} [/ math] es el operador de momento angular. [matemáticas] \ hat {L ^ 2} = – \ frac {1} {\ sin ^ 2 \ phi} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial \ theta ^ 2} [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac {1} {\ sin \ phi} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} [/ math] [math] \ sin \ phi \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} [/ math]. Suena complicado ¿verdad? Bueno, resulta que la forma específica no es realmente un gran dolor de cabeza, siempre y cuando escribamos [matemáticas] \ hat {H} = – \ frac {1} {2r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ parcial r} r ^ 2 \ frac {\ partial} {\ partial r} [/ matemática] [matemática] + \ frac {L ^ 2} {2r ^ 2} – \ frac {1} {r} [/ matemática] .
Ahora [math] H \ psi (r, \ theta, \ phi) = E \ psi (r, \ theta, \ phi) [/ math] de la ecuación de Schroedinger. Si tomamos [math] u = r \ psi [/ math], la ecuación se reorganiza a [math] – \ frac {1} {2} \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial r ^ 2} [ / matemáticas] [matemáticas] + \ frac {L ^ 2u} {2r ^ 2} – \ frac {u} {r} = Eu [/ matemáticas].
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[matemática] L ^ 2 [/ matemática] no tiene dependencia r, y podemos tratar de resolver esta ecuación mediante la separación de variables. Suponemos que [math] u (r, \ theta, \ phi) [/ math] puede factorizarse en [math] u (r) Y (\ theta, \ phi) [/ math]. En estas condiciones, podemos separar los bits radiales ([matemáticos] u (r) [/ matemáticos]) y angulares ([matemáticos] Y (\ theta, \ phi) [/ matemáticos]). Las soluciones angulares resultan ser los armónicos esféricos (el método de resolución es el mismo que para un rotor rígido), con valores propios [matemática] l (l + 1) [/ matemática] para [matemática] L ^ 2 [/ matemática] . Para soluciones angulares correspondientes a [matemáticas] l = 1 [/ matemáticas], obtenemos p orbitales. Aquí se dan los armónicos esféricos correspondientes: tabla de armónicos esféricos.
Notará que una solución tiene simetría [math] \ cos \ theta [/ math] -que coincide exactamente con la de [math] p_z [/ math] -positivo para la mitad del espacio, negativo para el resto. Los otros dos son más complicados, ya que son números complejos [matemática] \ sin \ theta (\ cos \ phi \ pm i \ sin \ phi) [/ matemática], pero tomamos combinaciones lineales de ellos (es decir, sumar ambos y restar de entre sí, esto todavía no cambia el hecho de que estos también serán soluciones) para obtener simetrías [matemáticas] \ sin \ theta \ cos \ phi [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sin \ theta \ sin \ phi [/ matemáticas ] que coinciden con las direcciones [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Así es como terminas con tres orbitales ortogonales con lóbulos [math] \ pm [/ math].
Disculpas por errores menores, mucho sueño en este momento.
