¡Has redescubierto uno de los experimentos de pensamiento clásicos de la Relatividad General! Este problema es sutil y ahora se ha dado a conocer en toda la comunidad de GR en una famosa parábola que Scott Hughes [1] describe muy bien en una revisión anual [Gravitational Waves from Merging Compact Binaries; (versión de preimpresión: haga clic en PDF en la esquina superior derecha)]. Esta historia proviene de algunos relativistas famosos en el campo: Hughes cita a Dan Kennefick [2], quien obtuvo la historia al entrevistar a Ted Newman:
El famoso John Wheeler (que acuñó los términos “agujero negro”, “geometrodinámica”, “geón”, “de bit” y muchos otros nombres encantadores en relatividad general) una vez pidió a una sala de teóricos de la relatividad que votara sobre el experimento mental. : ¿Qué carga irradia? ¿El que está sentado en la superficie de la Tierra o el que cae hacia la superficie de la Tierra? Sus respuestas se dividieron casi por la mitad.
La respuesta la dan definitivamente DeWitt y Brehme 1960 (Amortiguación de radiación en un campo gravitacional).
- Cómo demostrar que el campo eléctrico es el negativo del gradiente del potencial
- ¿Qué es realmente una onda electromagnética? Si no se pueden sentir como ondas mecánicas, ¿cómo sabemos que son ondas? ¿Cómo difiere técnicamente de una onda mecánica?
- ¿Podríamos usar ondas de radio de frecuencia extremadamente baja (ELF) para obtener imágenes de objetos subterráneos en planetas?
- ¿Cómo se imponen las ondas de modulación sobre una onda portadora?
- ¿Cómo pueden estar los fotones de luz en lugares espacialmente distintos simultáneamente?
- La carga que se encuentra en la superficie de la Tierra no irradia.
- El que cae hacia la superficie de la Tierra irradia.
¿Por qué es esto? Suena como una violación del principio de equivalencia, ¿verdad?
Debemos recordar lo que se suponía que establecía el principio de equivalencia (débil). Estamos interesados en el movimiento de pequeños cuerpos de “prueba”, y tenemos que tener mucho cuidado con lo que constituye un cuerpo de prueba. Debe ser lo suficientemente pequeño como para que se pueda descuidar su acción de retroceso en el espacio-tiempo. Un electrón ciertamente satisface eso.
Pero un electrón individual es un cuerpo de prueba bastante malo para medir el campo gravitacional, ¡porque tiene carga eléctrica! Si hay campos eléctricos o magnéticos dispersos alrededor, ejercerán una fuerza sobre el electrón.
Ahora estamos llegando a la física importante. “Pero en mi experimento mental”, se podría decir, “no hay absolutamente ningún campo eléctrico o magnético, por lo que el electrón es un cuerpo de prueba perfectamente bueno”.
¡No es verdad! ¡El electrón no solo siente el campo electromagnético, sino que actúa como una fuente para ello! Esta es la naturaleza inevitable de estar ‘cargado’ en algún campo: si una partícula se ve afectada por algún campo, también actuará como una fuente para ese campo.
Entonces, de hecho, no podemos considerar el electrón por sí mismo: ¡debemos considerar la combinación del electrón y el campo que genera , que se extiende a lo largo de todo el espacio-tiempo!
De hecho, el electrón:
- genera un campo electromagnético
- que impregna todo el espacio-tiempo,
- entonces el campo “conoce” la curvatura en escalas largas;
- así, la configuración del campo depende de la curvatura del espacio-tiempo
- y esto empuja hacia atrás al electrón .
Por lo tanto, el electrón es un mal cuerpo de prueba, ¡porque llega a sentir la curvatura del espacio-tiempo! Los electrones no “caen libremente”.
Como muestran DeWitt y Brehme, después de algunos cálculos complicados, el límite newtoniano se recupera y está de acuerdo con lo que medirías en un laboratorio. Si usted, por ejemplo, carga un generador Van de Graaf y lo tiene sentado en el banco de su laboratorio, no verá ninguna radiación, solo el campo de Coulomb. Lo de siempre.
Si todavía está aquí, puede interesarle la forma más técnica de la respuesta. Si ha tomado más de uno o dos años de física, entonces sabe que la ecuación que gobierna el movimiento del electrón proviene de algo más fundamental: la acción (que es el tiempo integral del lagrangiano). La acción para un electrón contiene dos partes: la parte de masa en reposo y el acoplamiento al campo eléctrico. Cuando extremas la acción para obtener la ecuación de movimiento, esto genera dos términos. El primer término, que proviene de la masa en reposo, solo da la ecuación geodésica habitual. El segundo término, proveniente de la interacción con el campo eléctrico, le da una carga a la ley de fuerza de Lorentz. Esta ecuación no se puede resolver por sí sola; para cerrar el sistema también necesitamos la ecuación de movimiento para el campo electromagnético (cuyo recuerdo también es originado por el electrón, a través del mismo término de interacción anterior).
¡Entonces el electrón no “cae libremente”! Porque tienes que resolver simultáneamente el electrón y el campo electromagnético; y como mencioné anteriormente, el electrón termina actuando sobre sí mismo.
Puede pasar por todo este rigmarole de resolver el campo electromagnético a través de la función de Green retardada (para que se aplique la causalidad). El punto interesante aquí es que la función de Green tiene soporte no solo en el cono de luz, como en el caso del espacio-tiempo plano, ¡sino también dentro del cono de luz! Usted encuentra que el movimiento de la carga depende de una integral sobre todo su movimiento pasado (asco). De todos modos, hoy en día todos los teóricos serios de la relatividad entienden este procedimiento y están de acuerdo con él.
Aquí hay otra forma de pensarlo, si quieres más. Esta manera es más apropiada para los físicos de partículas que piensan en términos de partículas virtuales. En el espacio-tiempo plano, los fotones simplemente avanzan y solo interactúan con las cargas. En el espacio-tiempo curvo, los fotones también interactúan con el espacio-tiempo mismo. Por lo tanto, los fotones virtuales emitidos por la carga pueden dispersarse fuera del espacio-tiempo (esta es una forma de ver que la función de Green tiene soporte dentro del cono de luz). Entonces, el electrón emite fotones virtuales, que se dispersan de la curvatura, y vuelven a interactuar con el electrón nuevamente. Así, el electrón llega a sentir la curvatura.
[1] Scott Hughes fue mi asesor de doctorado en el MIT.
[2] Kennefick es un físico que escribió el popular libro de ciencia histórica Viajando a la velocidad del pensamiento: Einstein y la búsqueda de ondas gravitacionales.
