En general, las cantidades conservadas a lo largo de la geodésica son las cantidades
[matemáticas] u ^ \ mu X_ \ mu [/ matemáticas]
donde [math] u [/ math] denota la velocidad cuatro y [math] X [/ math] es un vector Killing. [1]
En el espacio plano, esto implica que los componentes individuales de las cuatro velocidades son constantes, lo que simplemente te dice que las partículas (masivas o sin masa) viajan en línea recta.
También existen ejemplos más interesantes: por ejemplo, en la métrica de Schwarzschild, que describe la geometría alrededor de un agujero negro sin carga esféricamente simétrico, hay un vector de matanza temporal, [math] \ partial_t [/ math], que implica la conservación de [math ] u ^ 0 [/ math] (y por lo tanto [math] p ^ 0 [/ math]). También está el vector Killing [math] \ partial_ \ phi [/ math]; como esto genera rotación, la cantidad conservada correspondiente [matemática] u ^ 3 [/ matemática] (y por lo tanto [matemática] p ^ 3 [/ matemática]) se interpreta como un momento angular. [2]
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[1] Tenga en cuenta que para que esto sea correcto, [math] u [/ math] debe ser una velocidad de cuatro velocidades correctamente normalizada, es decir, su derivada covariante total a lo largo de la geodésica debe desaparecer.
[2] La simetría esférica también te permite concluir que existen dos campos de vectores de Matanza más, que también generan rotación alrededor de los ejes x e y. Sin embargo, no me molestaré en escribirlas.
