En mecánica cuántica, ¿por qué la función de onda es una cantidad compleja y su magnitud es una cantidad real?

La función de onda asigna un número complejo a cada punto en el espacio y ese número complejo cambia con el tiempo. Veamos un solo punto en el espacio. Podemos escribir la función de onda como dos funciones de valor real:

F (t) + iG (t)

Ahora el valor en ese punto puede considerarse como una amplitud y una fase. El cuadrado de la amplitud está relacionado con la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en ese punto, es:

F (t) ^ 2 + G (t) ^ 2

La fase básicamente representa la dirección que apunta la amplitud en el plano complejo.

Puede imaginar que a medida que el tiempo avanza, el valor de la función de onda cambia en amplitud y gira alrededor del plano complejo. La rotación alrededor del plano complejo representa el cambio de fase a lo largo del tiempo.

Bueno, esto es bueno, tienes algo moviéndose alrededor del plano complejo probablemente con un período regular. Entonces es una especie de “saludo”. Eso es bueno ya que estamos hablando de algo llamado “función de onda”.

En general, la fase no nos da mucha información, pero si podemos configurar las cosas para que la función de onda pueda interferir consigo misma debido a la ondulación, entonces la fase podría ser importante. Esto es lo que haces en el experimento de doble rendija, obtienes diferentes fases para interferir. Por lo tanto, el resultado de la doble rendija es una combinación de amplitudes y fases de la función de onda en caso de que interfiera consigo misma.

En resumen, necesitamos un número complejo para capturar el tipo de periodicidad que hace que la mecánica de onda sea mecánica de onda. En efecto, los números complejos crean ondas en la teoría.

La pregunta más profunda es por qué las cosas parecen ondas a escalas fundamentales. No creo que haya una respuesta a eso, aunque podría observar la física completa de cómo emergen las ondas en los objetos clásicos regulares en respuesta a tensiones externas y postular que algo similar está sucediendo en escalas fundamentales.

No necesita ser complejo. Por ejemplo, los polinomios hermitas del oscilador son funciones reales si recuerdo correctamente.

Lo importante es que las funciones de onda son ortogonales entre sí. Puede construir cualquier conjunto de estados ortogonales que existan en algún espacio. El otro requisito es que cuando se realiza alguna operación en ellos, deben permanecer en el mismo espacio. Estas no son reglas arbitrarias, son exigidas por la experiencia. La magnitud es algo que observas. Eso es real y no imaginario por la más obvia de las razones obvias: ha sido real y no imaginario (literalmente y no matemáticamente, no se pueden medir cosas imaginarias).

Aunque es importante cuestionar las cosas, no es aconsejable dejarse llevar por las matemáticas al hacer física. Tu diosa cuando haces física es el experimento, no las matemáticas.

Bueno, la pregunta de por qué su magnitud es real cuando la función de onda es compleja, es simplemente una cuestión de matemáticas. Es un teorema del valor absoluto matemático de cualquier número complejo y obtienes uno real. Si esto no tiene sentido para usted, tenga en cuenta cuál es la función de valor absoluto. Es una función de distancia, mide la distancia al origen y, por definición, las distancias deben ser números reales positivos.

En cuanto a por qué la función de onda en sí es compleja, bueno, nunca he recibido una respuesta satisfactoria de mis profesores de física. La mejor respuesta que puedo darle es que los números complejos no son nada especial. Si bien nunca se puede tener una cantidad de manzanas [matemáticas] 3 + 5i [/ matemáticas], o un impulso [matemáticas] 12-5i [/ matemáticas], ya que resulta que los números complejos son fantásticos para describir la naturaleza de las oscilaciones. De hecho, ni siquiera puedes entender un péndulo, o incluso una simple bola en un resorte, sin números complejos. La mecánica cuántica tiene que ver con las oscilaciones, por lo que, en cierto sentido, no es tan sorprendente que veamos aparecer números complejos.

Desafortunadamente, mi respuesta nunca eliminará esa molesta sensación de que algo anda mal al describir el estado del sistema con un número complejo. Dudo cualquier cosa de cada testamento.

La confusión se produce al pensar que, como la onda de la materia es algo real, ¿cómo se puede representar como algo imaginario? Bueno, puede ser, solo para representar y para facilitar la manipulación.

No solo importa la onda, cualquier onda puede representarse en notación compleja. Esto se debe a la similitud entre la notación de números complejos de Euler y la ecuación de forma de onda. Ofrece mejores opciones que la representación directa de pecado o cos.

Lea el siguiente artículo para una mejor comprensión:

Representación de ondas a través de funciones complejas

La función de onda es un número complejo debido a dos propiedades que debe cumplir. Por un lado, su módulo cuadrado es observable y, por lo tanto, debe ser real (da densidad de probabilidad). Por otro lado, debe describir exactamente la misma realidad física (es decir, proporciona la misma densidad de probabilidad) si se escribe en un marco reforzado. Esto es posible solo en caso de que tal impulso sea simplemente una fase del número complejo, que no afecta su módulo.

Cabe señalar que la función de onda tiene una representación dudosa como una verdadera función compleja Ψ (z) de una variable compleja, digamos z = x + it, como se puede deducir de la solución completa al oscilador lineal donde los polinomios de Hermite representan x son reales. Es una función espacial de Hilbert solo en la variable x en L2 (-inf, + inf), no en el sentido bidimensional con el elemento de área dA = dxdt, ya que la integración t conduce a un límite, lo que lo convertiría en un espacio de Hilbert fuction en el plano complejo.

Creo que estás confundiendo la magnitud de la función de onda con la amplitud. La amplitud de una función de onda es el cuadrado de su valor absoluto, por lo que siempre es un número real positivo. Mientras que la función de onda es compleja.