No soy un lógico y esta es solo una respuesta muy general. Por favor, busque estas cosas si va a citarlas o profundizar en el tema.
Esto tiene que ver con la integridad en la lógica. Algunos sistemas axiomáticos están completos en el sentido de que si algo es cierto, entonces es demostrable (es decir, puede deducirlo en un número finito de pasos lógicos utilizando solo los axiomas del sistema).
El sistema axiomático (que la mayoría) usa la gente hoy en día se llama ZFC y no está completo, sino más bien famoso: los teoremas de incompletitud de Godel. Es un hecho notable que uno puede probar que existen enunciados matemáticos en ZFC que son indecidibles, por lo que no existen pruebas aunque sean verdaderas.
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Si mi memoria es correcta, esto tiene que ver con la introducción de cuantificadores en las matemáticas. El cálculo proposicional de primer orden no tiene ‘Para todos’ o ‘Existe’ y está completo, sin embargo, tan pronto como introduzca la capacidad de hacer una declaración general como
“Para todos los números naturales x, existe un número natural y tal que … alguna afirmación lógica …”
entonces pierde la capacidad de probar cada declaración verdadera (en ese sistema).