¿Qué significa la integral de línea del campo eléctrico?

¿Estás familiarizado con integrales ordinarias? Cuando escribimos una integral, especificamos la “dirección” en la que se toma la integral. Entonces, por ejemplo, cuando escribimos:

[matemáticas] \ displaystyle \ int f (x) dx [/ matemáticas]

Queremos tomar la integral a lo largo de la dirección [math] x [/ math] (eso es lo que especifica [math] dx [/ math]).

Una integral de línea es una idea similar, pero en lugar de tomar la integral a lo largo de una de las direcciones del eje, tomamos la integral a lo largo de algún otro camino, que incluso puede ser curvo. En el caso de su ejemplo, integramos el campo eléctrico a lo largo del propio vector de campo eléctrico . Dado que, en general, el campo eléctrico apunta en diferentes direcciones en diferentes partes del espacio, esto significa que la dirección en la que nos integramos también puede cambiar a medida que avanzamos en el camino de la integración.

La razón para hacer esto es que la integral de línea del campo eléctrico entre dos puntos es exactamente igual a la diferencia de potencial entre esos dos puntos. Esto tiene sentido, ya que el campo eléctrico es el gradiente (derivada espacial tridimensional) del potencial. Entonces, integrar el campo eléctrico es la operación complementaria para diferenciar el potencial.

La “integral de línea” rastrea, o integra, la diferencia de voltaje entre los potenciales existentes en los puntos inicial y final de esa “línea”. Una analogía de “alpinista” está disponible, con el campo eléctrico correspondiente a la inclinación del sendero en cualquier punto, y la “diferencia de potencial” acumulada correspondiente a la diferencia de elevación entre los puntos de inicio y finalización del camino. De hecho, esa analogía (o modelo físico, si se quiere) está integrada en la terminología.