¿Cómo, usando un lenguaje simple, puedo derivar la dilatación del tiempo para el movimiento acelerado del efecto Doppler?

Ya he dicho en los comentarios que esto no tiene nada que ver con el efecto Doppler. El efecto Doppler solo se aplica al sonido donde la velocidad del sonido es una velocidad constante con respecto al medio por el que viaja. Para la luz, la velocidad es constante con respecto al observador, también conocido como marco de referencia, y es constante con respecto a cada marco de referencia. Dado que la velocidad de la luz en cada marco de referencia es constante, el tiempo es la variable.

Realmente no puedo hacerlo mejor que esto:

Dilatación del tiempo

No estoy seguro de que se pueda hacer con un lenguaje simple. Es más bien no intuitivo. Los eventos que aparecen simultáneamente desde un marco de referencia pueden parecer estar ampliamente separados en el tiempo de otro marco de referencia. No solo por las diferencias de velocidad relativas, sino simplemente por las diferentes ubicaciones en el espacio.

Si estacionó su nave espacial en un lugar entre dos estrellas separadas por 100 años luz que se vuelven supernovas al mismo tiempo (en referencia a ese punto entre las dos estrellas), 50 años después observaría que las estrellas se vuelven supernovas al mismo tiempo.

Pero alguien a 50 años luz de distancia de una estrella en una línea con la otra estrella (por lo que está a 150 años luz de distancia de esa) verá a una estrella convertirse en supernova en 50 años, y la otra tardará 100 años más en convertirse en supernova.

Agregue un movimiento relativo, y las cosas se vuelven muy extrañas. Si mientras te sientas allí en nuestra nave espacial, te paso en la mía viajando a aproximadamente 0.866c, te parecerá que mis relojes y mi comportamiento funcionan a la mitad de la velocidad normal. ¡Todavía no estamos en la parte extraña! ¡Para mis observaciones, son ustedes que parecen estar funcionando a 1/2 velocidad! Y eso es a velocidad constante.

Agregue aceleración, y las cosas se ponen más extrañas aún.

Así que no estoy seguro de que pueda explicarse en términos simples.

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