¿Por qué no podemos calcular la velocidad promedio si la aceleración no es constante?

La pregunta no está completa sin los detalles de la pregunta. Agregué la pregunta y la respuesta del libro de texto que recibí del póster de la pregunta. Específicamente, le pregunta si puede calcular la velocidad promedio con la información dada, que solo dice que la aceleración no es constante pero no le dice las aceleraciones.

Para una respuesta que no sea de cálculo:

Si la aceleración no es constante, la velocidad promedio no se puede determinar porque, por ejemplo, si la aceleración es 0m / s ^ 2 durante 3.9 segundos y luego se acelera durante 0.1 segundos a 160m / s ^ 2, la velocidad final sigue siendo 21 m / s, pero la velocidad promedio será solo un poco más de 5 m / s porque solo pasó el 97.5% del tiempo viajando a 5 m / s. Específicamente, 5.2m / s es la velocidad promedio.

Del mismo modo, si aceleró a 160 m / s ^ 2 durante 0.1 segundos y luego no aceleró durante los siguientes 3.9 segundos, pasó el 97.5% del tiempo viajando a 21 m / s, por lo que la velocidad promedio estará mucho más cerca de 21 m / s. Específicamente, 20.8m / s.

Podemos. La velocidad es simplemente la suma de la aceleración instantánea en todos los períodos de tiempo anteriores, lo que equivale a decir que tiene la misma magnitud que el área delimitada por la curva de aceleración, o en términos matemáticos, la integral definida de la aceleración dentro de un dominio de tiempo. Por lo tanto, si podemos trazar la aceleración en el tiempo como un gráfico, incluso si no podemos describirlo como una función continua, entonces podemos encontrar el área debajo de la curva (o entre la curva y el eje X), que es la velocidad. Para funciones no continuas, como las gráficas estadísticas, normalmente calculamos la integral con una suma de Riemann o un método similar; cada muestra de tasa de aceleración se multiplica por el período de tiempo entre ella y las muestras adyacentes, luego se suman todos esos resultados.

El resultado es una aproximación de la velocidad; su precisión depende de la precisión y el intervalo entre muestras. Cuanto más espaciadas estén las mediciones, más preciso será el cálculo, porque las muestras definen con mayor precisión la función continua. El límite teórico es poder tomar medidas separadas por un período de tiempo infinitesimal y, por lo tanto, tener infinitas de ellas. En realidad, la única forma de hacerlo es poder definir una función continua que incluya todos los puntos muestreados y le permita interpolar con precisión todos los puntos no muestreados entre ellos.

Cuando tiene una función continua, simplemente encuentra su antiderivada (el conjunto infinito de funciones para las cuales la función actual representa la pendiente instantánea; la única diferencia entre cualquiera de los dos miembros de este conjunto es la de un escalar C único y real que cambia el intersección con el eje y del gráfico), entonces la integral definida es la diferencia entre los valores evaluados de una sola función de esta clase en los puntos finales del dominio (los escalares se cancelan). Ahora digo “simplemente”; encontrar la antiderivada de una función continua es en sí mismo el tema de varios cursos de cálculo de nivel universitario.

En el caso de la pregunta específica del libro de texto, hay dos medidas. En t = 0, v = 0, y en t = 4, v = 21. Lo mejor que se puede hacer con este conjunto de datos es asumir una “forma” particular a la función de velocidad que intersecta estos dos puntos, y calcular la pendiente promedio de esa forma durante los 4 segundos. El más simple es lineal; se supone que la velocidad aumenta linealmente a una aceleración constante de 21/4 = 5.25 m / s ^ 2. Eso produce una velocidad promedio de (0 + 5.25 + 10.5 + 15.75 + 21) / 5 = 10.5 m / s.

Sin embargo, la suposición de aceleración lineal es bastante arriesgada. La partícula podría haberse acelerado desde el reposo hasta su velocidad t = 4 en cualquier intervalo de tiempo d t menor de 4 segundos, comenzando desde cualquier punto de inicio real entre 0 y t – d t . La función de la aceleración podría ser logarítmica o asintótica, en ambos casos dando como resultado una gran aceleración inicial que luego disminuirá gradualmente. O bien, podría ser cuadrático, polinómico o exponencial, comenzando lentamente pero luego creciendo rápidamente hacia el final. Simplemente hay demasiadas incógnitas en este problema para mapear con confianza la tasa de aceleración.

Seguro que podemos.

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