¿Por qué cambia la longitud de onda de la luz, y no la frecuencia, durante la refracción?

¡Esta es una pregunta divertida que he respondido antes para mis hijos!

La respuesta corta (totalmente válida): las condiciones de contorno de las ondas EM implican que la frecuencia no puede cambiar.

Referencia matemática rápida de las condiciones de contorno:
[matemáticas]
E ^ \ perp_ \ text {arriba} – E ^ \ perp_ \ text {abajo} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0} \ qquad E ^ \ parallel_ \ text {arriba} – E ^ \ parallel_ \ text {abajo } = 0
[/ matemáticas] [matemáticas]
B ^ \ perp_ \ text {arriba} – B ^ \ perp_ \ text {abajo} = 0 \ qquad B ^ \ parallel_ \ text {arriba} – B ^ \ parallel_ \ text {abajo} = \ mu_0 K
[/matemáticas]

Eso lo explica todo? Imagine que la frecuencia de la onda cambiara, la frecuencia de las dos ondas a cada lado del límite estaría fuera de fase y sería imposible cumplir con las condiciones del límite.

¡Pero eso es solo matemática! Bien, bien. Tal vez la fase no es para ti. ¿Qué pasa con la conservación de energía? Estás convencido de eso, ¿verdad? ¿Qué pasa si las dos ondas tienen frecuencias diferentes? Si entra la amplitud máxima (en un pico de la onda), y no sale la amplitud máxima, esa energía extra entra en el límite … Oh sh **.

PERO LA VELOCIDAD DE LA ONDA CAMBIA TAMBIÉN. Bueno, ya sabes. Solo piense en ello como [math] v = f \ lambda [/ math]. Si la frecuencia no cambia, tanto la longitud de onda como la velocidad tienen que cambiar para acomodarla. Físicamente, me resulta difícil encontrar una buena analogía. Pero volvamos a lo que estábamos hablando con energía. Si la longitud de onda cambia, aumenta; Tengo que dispersar mi energía en una distancia mayor de la ola … pero eso significa que la energía por unidad de longitud que sale del límite disminuye, pero eso viola la conservación de energía. Para arreglar eso, la naturaleza hace que la ola sea más rápida. BAM

(Ashwin Dasondhi) Pero la luz también cambia su dirección … ¿cómo puede explicarse por la descripción anterior? Otra buena pregunta. Primero, el concepto subyacente es el Principio de Fermat (principio de menor acción / tiempo). Es tan fundamental en la naturaleza que incluso las hormigas siguen el principio del menor tiempo de Fermat (cambian de dirección para minimizar el tiempo necesario para cruzar una superficie)
De la misma manera que la luz tiene la dualidad onda-partícula, uno podría ver que la luz hace lo mismo a través de un límite. Ese es probablemente el argumento más fuerte a favor, pero plantea otra pregunta: ¿cómo sabe la luz en qué ángulo girar? Esto me desconcierta más, pero tengo una buena analogía que me ha ayudado antes: la analogía de la cuchilla de rodillos. Estás sobre patines deslizándose por un asfalto y te diriges hacia un límite de grava en ángulo. Un pie golpeará el límite primero antes que el otro pie (ya que la grava tiene más fricción, te ralentiza un poco) y comienzas a girar un poco mientras avanzas hasta que ambos pies estén en la grava. De esta manera, la rotación se produce debido a diferencias en la fricción, o en el caso de la luz, una diferencia en los índices de refracción. Para vincular mejor esta analogía con las ondas de luz, imagine que la luz viaja más despacio cuando llega al límite y disminuye el espacio entre ondas sucesivas, lo que cambia el patrón de interferencia (¿autointerferente?) Y crea el nuevo ángulo que observamos.

Ahora, si eres como yo, donde a veces olvido las cosas, y me pregunto por qué esta respuesta es totalmente suficiente … y de dónde provienen las condiciones límite … vamos a sumergirnos en una física más profunda. Asumiré que estás familiarizado con algo de electricidad introductoria y magnetismo que podrías obtener a nivel universitario. ¿Cuáles son las condiciones límite de las que hablamos aquí?

* Esto proviene de una mezcla de libros de E&M: obtengo imágenes de Griffiths *

Campos eléctricos

El pastillero gaussiano. Supongo que sabes lo que voy a preguntar, ¿verdad? Ley de Gauss
[matemáticas]
\ oint \ vec {E} \ cdot \ text {d} \ vec {A} = \ frac {q_ \ text {enc}} {\ epsilon_0} = \ frac {\ sigma A} {\ epsilon_0}
[/matemáticas]
(Nota para los profesores de E&M: siempre tengo la costumbre de poner vectores en mi campo eléctrico y vector de área para enfatizar que el producto de punto es cómo podemos evaluar esto en casos simétricos especiales)

Hay 5 caras visibles en el pastillero para tener en cuenta. Las caras tangenciales al vector de área (perpendicular a la superficie) no contribuyen en nada al flujo total. La cara perpendicular (la que indica [matemática] A [/ matemática]) contribuye al flujo total. Si reducimos el pastillero (reducimos su grosor [math] \ epsilon \ a 0 [/ math]), la integral de la superficie (Ley de Gauss) se convierte en
[matemáticas]
E ^ \ perp_ \ text {arriba} – E ^ \ perp_ \ text {abajo} = \ frac {\ sigma} {\ epsilon_0}
[/matemáticas]
Si tiene problemas para entender las matemáticas, está bien. Recuerde que una integral es como una suma de piezas, así que si hacemos [math] \ epsilon \ a 0 [/ math] (lo suficientemente pequeño) para que solo tengamos dos piezas de campo eléctrico para sumar, [math] \ vec {E} ^ \ perp_ \ text {arriba} [/ math] y [math] \ vec {E} ^ \ perp_ \ text {below} [/ math], entonces solo suma estas dos piezas multiplicadas por [math] ] \ text {d} \ vec {A} [/ math] que resulta ser simplemente [math] A [/ math] (recuerde el producto de punto involucrado). El signo negativo anterior proviene del hecho de que el campo se irradia hacia afuera desde el límite (creo que la imagen es sutilmente incorrecta aquí, pero no soy tan inteligente como Griffiths).

¿Esto tiene sentido? Ciertamente lo hace. Esta es solo una declaración sobre la Ley de Gauss disfrazada: el campo eléctrico solo observa discontinuidades en áreas donde existe una distribución de carga. Es una idea bastante grande (en mi opinión) y entender esto realmente une mucho de esto. Esto es solo el campo eléctrico perpendicular a una superficie, el componente tangencial en contraste
[matemáticas]
\ oint \ vec {E} \ cdot \ text {d} \ vec {l} = 0 \ Rightarrow E ^ \ parallel_ \ text {arriba} = E ^ \ parallel_ \ text {abajo}
[/matemáticas]

Nota: las condiciones de contorno son MUY importantes porque puede combinar esto con la ecuación de Laplace [matemáticas] \ nabla ^ 2 \ phi = 0 [/ matemáticas] para garantizar la unicidad de su solución a un problema electrostático dado. Realmente no puedo exagerar esto. De Verdad.

Campos magnéticos

Una de las razones por las que hice una larga elaboración con electrostática es porque el magnetismo tiene un paralelo fantástico. Siempre me resulta más fácil recordar (con prisa) que la electrostática funciona como mencioné anteriormente, y solo para revertir la situación del magnetismo. Diversión ¿verdad? Vamos a explorar…

Nota: [matemática] K [/ matemática] representa la densidad de corriente superficial. Total actual [matemática] I_ \ text {enc} = K l [/ matemática] (también tienen direccionalidades, pero estoy descartando esa notación por presentabilidad).
Similar a lo que viste antes. Un pastillero. ¿Recuerdas (un poco) acerca de cómo los campos magnéticos no tienen divergencia? [matemática] \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {B} = 0 [/ matemática] (y para usuarios de física más avanzados: [matemática] B = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {A} [/ matemáticas]). Tenga en cuenta que este es un producto de puntos entre el operador de gradiente y el campo magnético (el producto cruzado en el caso de usuarios avanzados). Para ayudar a recordar la diferencia: divergencia = punto, rizo = cruz.

De todos modos, pongamos esa idea de divergencia en forma integral.
[matemáticas]
\ oint \ vec {B} \ cdot \ text {d} \ vec {A} = 0
[/matemáticas]
Parece la Ley de Gauss para campos eléctricos, pero sin cargo. Simplemente aplique el mismo razonamiento dejando que el grosor del pastillero llegue a cero, y bam:
[matemáticas]
B ^ \ perp_ \ text {arriba} = B ^ \ perp_ \ text {abajo}
[/matemáticas]

Bueno, * click * “eso fue fácil”.
Con el componente tangencial, use un bucle amperiano de longitud lateral principal [matemática] l [/ matemática].
[matemáticas]
\ oint \ vec {B} \ cdot \ text {d} \ vec {l} = \ mu_0 I_ \ text {enc}
[/matemáticas]
De nuevo, esto es bastante similar. Je, ¡es casi como la electricidad y el magnetismo están relacionados! Y como antes, la dirección de los campos magnéticos aquí es sutilmente confusa. Obtenemos (reduciendo el grosor del bucle)
[matemáticas]
B ^ \ parallel_ \ text {arriba} – B ^ \ parallel_ \ text {abajo} = \ mu_0 K
[/matemáticas]

Sin embargo, estos dos resultados para componentes paralelos y perpendiculares del campo magnético se pueden escribir de una manera más “compacta” ( “compacto”: piense más, recuerde menos )
[matemáticas]
\ vec {B} _ \ text {arriba} – \ vec {B} _ \ text {abajo} = \ mu_0 \ left (\ vec {K} \ times \ hat {n} \ right)
[/matemáticas]
donde [math] \ hat {n} [/ math] está en la dirección del vector de área (perpendicular a la superficie), y [math] \ vec {K} [/ math] se dibuja como en la imagen.

En palabras de Griffiths:

Al igual que el campo eléctrico sufre una discontinuidad con una carga superficial, el campo magnético es discontinuo con una corriente superficial.

Maldición, ese tipo es simplemente increíble. En realidad, aquí hay una foto de él
El tiene un bigote. Solo sé que puedo confiar en él.

Truco divertido para recordar esto

Si por alguna razón milagrosa llegaste hasta aquí, un increíble amigo mío de física en Caltech pensó en una forma inteligente de recordar las condiciones límite en primer lugar.

Los campos eléctricos son puntiagudos. No me gustaría pincharlos en absoluto. Los campos magnéticos son suaves al tacto. * frota mi brazo y gime *

Es simplemente una forma divertida de recordar que el campo eléctrico perpendicular “picos” y, por tanto, la discontinuidad. Entonces razonas ya que algo era cero, el campo eléctrico paralelo es cero. Y dado que el magnetismo es como lo opuesto a la electrostática, simplemente voltea perpendicularmente y en paralelo y reemplaza el eléctrico por el magnético.

Asistente del autor principal: Ricky Kwok

La velocidad en el vacío de la luz y las ondas electromagnéticas en general, es constante e independiente de la velocidad de la fuente. La frecuencia de la luz proveniente de fuentes distantes nunca cambia a menos que se cambie Doppler debido a las velocidades relativas entre la fuente y el receptor. Como velocidad = frecuencia x longitud de onda, se deduce que la longitud de onda nunca cambia también. Por lo tanto, la dirección, la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda de cualquier onda electromagnética son fijas y nunca cambian después de la emisión de una fuente . La velocidad es una característica del espacio vacío, mientras que la frecuencia y la longitud de onda codifican el movimiento de los electrones en el otro lado con respecto al observador. Se deciden en la emisión y no se pueden cambiar hasta su absorción. La intensidad es otra característica que codifica la fuente y que nunca cambia también si se integra sobre el área de dispersión (la superficie esférica).

Pero en nuestra experiencia vemos un cambio / reducción en la velocidad de la materia. Y observamos cambios en la longitud de onda como resultado. En algunos casos también observamos cambios en la frecuencia. La velocidad de la luz en realidad nunca cambia incluso dentro de un medio … todo lo que sucede se retrasa por absorción y reemisión. Si la frecuencia se mantuvo constante, la longitud de onda cambiará, pero esto solo es aparente … ya que el cambio en la velocidad también es aparente. La frecuencia se puede cambiar solo si el campo EM es absorbido por la materia y se vuelve a enviar nuevamente. La nueva luz puede tener una nueva intensidad y una nueva frecuencia (y nueva longitud de onda) que son características del tamaño y el movimiento de la nueva fuente emisora.

Hay una posibilidad más de cambio aparente que proviene de mezclar más de una onda. Hay reglas para encontrar las ondas resultantes usando las matemáticas apropiadas, pero siempre es posible usar las matemáticas inversas para encontrar los componentes de onda originales.

Cuando las ondas EM se reflejan o refractan, la onda resultante es una nueva onda y podría ser diferente en cualquiera de sus atributos de dirección, intensidad, frecuencia y longitud de onda. Esto depende de los atributos de la onda incidente, así como de los atributos de la materia. Por ejemplo, si la luz visible cae sobre una superficie metálica. la mayor parte de la onda reflejada tiene la misma frecuencia, eso se debe a los electrones libres en la superficie del metal. Estos son fácilmente excitados por el campo eléctrico de la onda incidente, y al ser muy livianos, pueden reproducir la misma frecuencia fácilmente. Pero incluso en este caso, parte de la luz incidente es absorbida en capas más profundas (más pesadas) del metal produciendo calor y reemitida como calor a longitudes de onda mucho más largas. Lo mismo puede decirse de la luz que atraviesa el vidrio.

Cuando la luz visible cae sobre una superficie negra / opaca, sería absorbida y reemitida (reflejada o refractada), pero solo a longitudes de onda de calor mucho más largas, debido a la falta de electrones libres en este caso. El proceso depende claramente de la relación de los valores de la longitud de onda incidente y el espacio dentro de la materia que interactúa.

Tomaré la versión de partículas / mecánica cuántica de esto (para la versión de onda, eche un vistazo al principio de Huygen, que es muy similar).

En realidad, tampoco cambian. Realmente no.

La refracción ocurre en un medio. En ese medio, los fotones son absorbidos y reemitidos una y otra vez. El fotón golpea el electrón, suena un poco y luego escupe un fotón. Enjuague, repita. Esta parte que suena lleva tiempo, lo que ralentiza la progresión del fotón. Tendrá la misma frecuencia. Tendrá la misma longitud de onda. Porque en esos pequeños saltos entre ellos todavía viaja a la velocidad de la luz: los fotones nunca viajan a ninguna otra velocidad, a menos que los esté mirando estadísticamente.

Hay otros efectos inteligentes que entran en juego, como los fonones y el comportamiento de los bosones, y la electrodinámica cuántica (como el modelo de suma de la historia del camino del fotón) (diablos, la parte clave de esta pregunta es por qué Feynman obtuvo un Premio Nobel), pero lo dejaré para leer más.

Conservacion de energia.

Para la luz (o fotones) que pasan un límite dieléctrico, debemos conservar dos cosas: energía e impulso. La conservación del momento es lo que hace que la luz cambie de dirección en el nuevo medio (refracción), y la conservación de la energía es lo que insiste en que la luz tenga la misma frecuencia. La ley de Snell y el ángulo de reflexión y la conservación de la frecuencia se pueden derivar considerando la conservación de la energía o el momento.

Ahora, lo anterior es para un límite espacial . Un límite espacial es el habitual que imaginas. Hay alguna región del espacio con índice de refracción [matemáticas] n_1 [/ matemáticas] y alguna región del espacio con índice de refracción [matemáticas] n_2 [/ matemáticas]. Imagina, si quieres, un límite temporal . Aquí, existe un instante en el tiempo para el cual el índice de refracción antes de este tiempo es [matemático] n_1 [/ matemático], y después de este tiempo el índice de refracción se convierte en [matemático] n_2 [/ matemático]. Ahora, la misma conservación de energía e impulso insiste en que la frecuencia debe cambiar y la dirección permanece igual. La frecuencia y la dirección han cambiado de lugar aquí. Raro eh?

Para entender el problema solo necesita ir a lo básico, FRECUENCIA es no. de olas que pasan por un punto en un período de tiempo determinado. La longitud de onda es la distancia entre las 2 crestas o canales adyacentes. necesitamos un término más para ayuda, es decir, VELOCIDAD DE LUZ.

Cuando la luz viaja de un medio a otro, solo la velocidad de la luz y la longitud de onda cambian y la frecuencia NO cambia, permanece constante en todo el medio. La velocidad de la luz y la longitud de onda cambian para mantener la frecuencia constante.

por ejemplo – 1) cuando la luz viaja desde ópticamente posterior a medio más denso, como usted sabe, la velocidad de la luz disminuye y la longitud de onda también disminuye, lo que da la misma frecuencia

2) cuando la luz viaja de ópticamente más denso a medio trasero, la velocidad de la luz aumenta y la longitud de onda aumenta a medida que la frecuencia total es la misma.

En cada punto individual, la onda viaja, los ciclos que llegan equivalen a los ciclos que salen. Entonces, a menos que la fuente y el detector estén en movimiento relativo (el escenario del efecto Doppler) de modo que el detector esté consumiendo ciclos a una velocidad diferente de la que la fuente los está colocando (acumulación neta o consumo de ciclos realmente propagándose), el La frecuencia tiene que ser la misma.

Luego, dado que la velocidad de la luz es diferente a cada lado de la superficie, la longitud de onda tiene que ser diferente (imagine una línea de autos pasando por una señal de límite de velocidad cambiada: se extenderán o se agruparán).

Pero, el componente de la longitud de onda medida a lo largo de la superficie (en oposición a la forma habitual perpendicular a los frentes de onda) tiene que coincidir, de modo que las crestas y los canales se alineen a lo largo de la superficie. Del mismo modo, si un frente de onda golpea la superficie de otra manera que no sea en línea recta, un lado golpeará primero y comenzará a acelerar o reducir la velocidad primero, y esto tendrá el efecto de inclinar el frente de onda hacia la cara y propagarse en una dirección diferente.

El efecto neto es según la imagen vinculada de un tanque de olas. Las olas llegan desde la derecha y se refractan en un área poco profunda en forma de prisma donde la velocidad de las olas es más baja. Observe la agrupación de los frentes de onda en el prisma y el emparejamiento de crestas y canales en el límite.

Refraction-ripple-tank.JPG

Es el resultado de la conservación de la energía. La energía de un fotón con frecuencia f viene dada por (hf). En una interfaz, la energía total debe sumarse y esto requiere que la frecuencia permanezca constante fuera y dentro del medio.

Por otro lado, la longitud de onda, lamda, depende de la velocidad de la luz en el medio y se reduce por el índice de refracción, n.

Pregunta original: ¿Por qué la frecuencia no cambia durante la refracción y la reflexión?

Porque la refracción y la reflexión ordinarias son ‘procesos lineales invariantes en el tiempo (LTI)’.

¿Que es eso? Cuando una frecuencia de luz pasa a través de un proceso LTI, la luz de salida simplemente se parece a la luz de entrada pero se escala y retrasa en cantidades fijas. No puede producir nuevas frecuencias escalando e ingresando retrasando cada frecuencia en una cantidad fija.

Si tocas la guitarra eléctrica, la analogía es esta. A volúmenes bajos, escucha el mismo conjunto de armónicos que produce la cuerda de guitarra. Puede usar los controles de graves y agudos para variar el volumen de los armónicos entre sí. Puedes crear eco y reverberación. Pero no puedes producir nuevas frecuencias. La reflexión ordinaria y la refracción funcionan así.

Pero a grandes volúmenes se obtiene distorsión. Obtiene frecuencias de suma y diferencia además de los armónicos originales que entran en el amplificador. Eso es análogo a la óptica no lineal. Lo cual es algo real que puede darle ondas refractadas a nuevas frecuencias. Óptica no lineal

De hecho, la frecuencia puede cambiar debido a la refracción no lineal, consulte la página de modulación de auto-fase en wikipedia.

Todas las respuestas anteriores requerían implícitamente un sistema lineal. Por ejemplo, la conservación de energía del campo EM de una determinada frecuencia NO está garantizada en situaciones no lineales, en las que la no linealidad puede acoplar excitaciones a diferentes frecuencias, y la energía puede transferirse de una frecuencia a otra.
En realidad, esto es una característica de algunos sistemas ópticos: consulte Generación de segundo armónico.

Sin embargo, en la refracción lineal (ahorro de energía sin absorción), una transformada de Fourier en el tiempo desacopla completamente las ecuaciones, por lo que se conserva la energía de una sola frecuencia.

Solo puede cambiar la frecuencia entre dos puntos solo si cambia la tasa de tiempo entre ellos. En una velocidad media baja, la longitud de onda baja y la frecuencia permanece constante. Si no hay ninguna razón por la cual la tasa de tiempo cambiaría, entonces la frecuencia sigue siendo la misma. ¿Cómo sabes que la frecuencia no cambia? Si así fuera, si miraras a través de un vidrio grueso verías (en principio) la realidad desde el otro lado yendo más despacio. Pero tu no. El vidrio solo retrasa el tiempo, no lo hace correr más lento. Solo se ven las cosas al mismo ritmo, pero las imágenes son de muy poco tiempo atrás. Incluso sin ningún medio que vemos en el tiempo (sin siquiera mencionar el tiempo del cerebro para procesar el video) porque la luz tarda en llegar del objeto que ves a tus ojos.

La respuesta de Giordon Stark es bastante buena. De hecho, cualquier respuesta debe referirse a las condiciones de contorno como lo hizo. Pero hay otra forma de ver las “matemáticas rápidas”: imagine que un simple incidente de onda plana en el límite proviene de la izquierda (las condiciones de los límites de Stark aumentaron / disminuyeron, me resulta más fácil visualizarlo de izquierda a derecha). El campo eléctrico de la izquierda debe ser una suma de ondas incidentes y reflejadas, el campo eléctrico de la derecha también debe ser una onda plana simple. Pero en la superficie, la izquierda y la derecha deben ser iguales entre sí (la condición límite que dio Stark). Esto significa que una función armónica debe ser igual a la suma de otras dos. Pero la única forma en que esto puede suceder (pruébelo: es la trigonometría de la escuela secundaria) es si los tres tienen frecuencias iguales.

La refracción es solo un fenómeno incidental debido al cambio de velocidad de propagación, la frecuencia es una propiedad de las ondas que pertenece a la fuente y solo el efecto Doppler puede hacer la ilusión de un cambio, pero se fija para cada fenómeno