¿Están relacionados los lagartos y los dinosaurios de alguna manera?

Eh … Todos los seres vivos están relacionados de ALGUNA manera. Si quiere preguntar si están CLOSAMENTE relacionados … entonces, no.

Sin embargo, los dinosaurios (incluidas las aves) están relacionados con los cocodrilos. Ahora, los lagartos, los dinosaurios y los cocodrilos son reptiles. (Sí, eso significa que, en términos de filogenética, las aves son reptiles, no hay duda al respecto). Los reptiles (diápsidos) se separaron de los mamíferos (sinapsidos) antes de que evolucionaran los dinosaurios y los mamíferos propiamente dichos.

Este árbol filogenético lo demuestra bien:

Como puede ver, mientras que los lagartos y las serpientes comparten un ancestro común con las aves, no están tan estrechamente relacionados.

Es posible que haya notado que faltan tortugas en este caso: no tienen del todo claro dónde colocar las tortugas, pero tampoco están estrechamente relacionadas con los cocodrilos / dinosaurios (archosaurios). Están en una rama propia, separada de los lepidosaurios.

Es mucha jerga, pero espero que la ilustración lo haga más claro. 🙂

Respuesta corta, sí, lo son. Para dar un poco más de detalle sobre cómo se relacionan los dos grupos, permítanme desglosarlo de esta manera: Entonces, si saben algo sobre cladística de reptiles, entonces saben que los dinosaurios son de un grupo llamado archosaurios. Hay dos grupos principales de archosaurios; los archosaurios de la línea de las aves y los archosaurios de la línea de los cocodrilos. La línea de aves incluye aves, sus parientes y ancestros extintos, dinosaurios, los parientes más cercanos de esos animales, silesaurs y un grupo relacionado, los pterosaurios. Los archosaurios de la línea Croc son cocodrilos modernos, animales extintos de la misma familia y grupos relacionados como los fitosaurios y los rauisuquios. Los archosaurios también incluyen tetsudinas (tortugas, etc.), basadas en datos genéticos, pero hasta ahora se desconoce exactamente dónde encajan.
De todos modos, los archosaurios son parte de un grupo llamado sauropsids, la otra mitad de los cuales (estoy simplificando un poco aquí) se llaman lepidosaurios. Los lepidosaurios incluyen todos los reptiles marinos gigantes (plesiosaurios, ictiosaurios, placodontes), así como lagartos y serpientes.
Entonces, en resumen, sí, los lagartos están relacionados con los dinosaurios, pero no del todo.

Los reptiles existían mucho antes que los dinosaurios, por lo que todos los animales que llamamos dinosaurios tenían un ancestro común que era un reptil.

Como señaló una vez el gran Alberto Ángela, los lagartos y los dinosaurios (que incluyen las aves) están tan relacionados entre sí como los primates con las focas.