¿Cómo se transfiere la energía si las ondas viajeras son superposiciones de ondas estacionarias?

Tienes razón en que una onda viajera es una superposición de dos ondas estacionarias, pero te perdiste que las ondas estacionarias transmiten energía. Sin embargo, solo lo transportan de un lado a otro. De alguna manera, dos ondas estacionarias que derraman energía de un lado a otro se combinan para dar una onda viajera que transporta energía indefinidamente.

Esto es posible porque la transmisión de energía a través de una onda no es lineal. La energía es cuadrática, por lo que cuando superponemos dos ondas estacionarias, pueden interactuar. A pesar de que cada uno solo gasta algo de energía de un lado a otro, la no linealidad significa que su efecto combinado es diferente de la suma de sus efectos individuales.

Una ola estacionaria parece
[matemáticas] y_1 = \ cos kx \ sin \ omega t [/ matemáticas]

Cuando [math] t = 0 [/ math], toda la energía es cinética y está más concentrada en los antinodos porque esos puntos se mueven más rápido.

Cuando [math] t = \ frac {\ pi} {2} [/ math], toda la energía es potencial. La energía potencial está en la cuerda que se estira y, por lo tanto, se alarga. Esto se concentra más en los nodos porque allí es donde la pendiente es más pronunciada, por lo que es donde la cuerda se estira más. (El factor por el cual se estira un poco de cuerda cuando su movimiento es puramente vertical es [math] \ sqrt {1 + y ‘^ 2} [/ math]). Por lo tanto, la energía ciertamente se ha movido.

Puedes saber cómo se mueve la energía en un momento dado observando la relación entre la pendiente y la velocidad.
(fuente: Waves)

Observe el punto A e imagine que se mueve hacia arriba y que se trata de una onda estacionaria. La cadena a la derecha de A tira hacia arriba de A, por lo que está haciendo un trabajo positivo. La cadena a la izquierda está haciendo un trabajo negativo, por lo que la energía va de A a esa parte de la cadena. Sobre todo, la energía fluye de derecha a izquierda en el punto A.

Por otro lado, imagine un punto a medio camino entre A y B. Ese punto también estaría subiendo, pero las pendientes se invierten, por lo que se invierte la dirección del flujo de energía. Vemos que la energía fluye desde los nodos hacia el centro a medida que la cuerda se mueve hacia una configuración plana, que alcanzará cuando A (y B y C) lleguen a la línea recta.

A medida que continúan pasando la línea recta y hacia el otro lado, la dirección del flujo de energía se invertirá. La energía simplemente chapotea de un lado a otro. Sin embargo, cuando tomamos dos ondas estacionarias y las sumamos, los bits de chapoteo hacia adelante y hacia atrás se superponen para pasar energía a lo largo de la cuerda. La primera onda estacionaria nunca pasa energía sobre un nodo, pero la segunda onda estacionaria tiene un anti-nodo allí y pasa mucha energía a través de ese punto. En el momento en que llegamos a un nodo de la segunda onda estacionaria, estamos en un antinodo de la primera onda estacionaria y de nuevo pasa mucha energía.

Veamos exactamente cómo funciona esto. La pendiente de nuestra ola estacionaria es
[matemáticas] y’_1 = -k \ sin kx \ sin \ omega t [/ matemáticas]
La velocidad es
[matemáticas] \ dot {y} _1 = \ omega \ cos kx \ cos \ omega t [/ matemáticas]
La energía que fluye a través del punto [matemáticas] x [/ matemáticas] a la derecha es
[matemáticas] J_1 = -T y’_1 \ dot {y} _1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = T k \ omega \ cos kw \ sin kx \ sin \ omega t \ cos \ omega t [/ matemáticas]
[matemáticas] = T k \ omega \ cos (2 kx) \ cos (2 \ omega t) [/ matemáticas]
Este es un flujo de energía que atraviesa la cadena. Puede ver que es una onda estacionaria con el doble del período y la frecuencia de la onda original. Esto tiene sentido porque la energía almacenada en un trozo de cuerda no depende de si está inclinada hacia arriba o hacia abajo, solo de la magnitud de la pendiente. Del mismo modo, no importa si la cadena se mueve hacia arriba o hacia abajo, solo se mueve. Entonces, desde un punto de vista energético, la cuerda se repite a la mitad del tiempo / distancia habitual.

Más importante aún, la energía no es lineal. Si tomamos una segunda ola estacionaria
[matemáticas] y_2 = \ sin kx \ cos \ omega t [/ matemáticas]
también podemos derivar el flujo de energía para esta ola, pero esta no es toda la historia. Si [matemáticas] y = y_1 + y_2 [/ matemáticas], entonces el flujo de energía es
[matemáticas] J = -T y ‘\ dot {y} = -T (y_1’ \ dot {y_1} + y_1 ‘\ dot {y_2} + y_2’ \ dot {y_1} + y_2 ‘\ dot {y_2}) [/matemáticas]

Los términos cruzados hacen toda la diferencia. Te dejaré resolver los cálculos matemáticos, pero si bien los términos que provienen de una sola onda estacionaria tienen que seguir cambiando de dirección, los términos cruzados no.

Imagine un par nodo / antinodo de las dos ondas estacionarias que están en el mismo lugar. Mientras que el nodo de la primera onda estacionaria está inclinado hacia arriba, el antinodo de la segunda puede moverse hacia arriba. Luego, cuando el primero está inclinado hacia abajo, el segundo puede moverse hacia abajo. De esta manera, la energía sigue yendo en la misma dirección, de modo que la energía puede viajar una y otra vez por una onda viajera, transportada por los términos cruzados entre dos ondas estacionarias.

* Estoy usando el límite de física introductorio habitual donde las desviaciones del plano son pequeñas, el movimiento de la cuerda es puramente vertical y la tensión es constante.

Lo que has hecho aquí, que representa una onda viajera como dos ondas estacionarias, se llama un cambio de base, una técnica básica importante en física. La cantidad [matemática] J [/ matemática] es una corriente; aprenderá sobre este tipo de entidades en electromagnetismo o mecánica cuántica. La derivada de [math] J [/ math] con respecto a la posición es la tasa de cambio de densidad de energía en un punto dado de la cadena, un ejemplo simple de una ecuación de continuidad. Comprender cómo fluye la energía a través de una cadena es un buen punto de partida para la teoría clásica del campo. ¡Entonces esta pregunta tiene bastante física interesante!

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¡Buena pregunta! Sin embargo, creo que tienes tus definiciones un poco confusas. Una onda estacionaria es la superposición de dos ondas viajeras. Este escenario a menudo ocurre cuando hay una onda entre dos extremos fijos, como una cuerda de guitarra. Al tocar la cuerda de la guitarra se envía una onda hacia abajo, pero una onda de igual magnitud se refleja en el extremo fijo, lo que resulta en una superposición llamada onda estacionaria. Las olas que viajan llevan energía. Sin embargo, una onda estacionaria es diferente porque no se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha. En cambio, una onda estacionaria tiene un conjunto de nodos o antinodos.
Los nodos son lugares donde la onda estacionaria no tiene movimiento. Las ondas estacionarias solo tienen una amplitud cambiante. Las amplitudes máximas, como se muestra, se llaman antinodos. La energía sigue siendo creada por el movimiento de los antinodos que aumentan y disminuyen en amplitud. Sin embargo, la energía no se transfiere a través de la onda porque, como se indicó, no viaja hacia la derecha o hacia la izquierda.

Alex Wang

Entonces su forma es en realidad una superposición de una onda cosenoidal y una onda sinusoidal, ambas con la misma frecuencia y longitud de onda y ambas moviéndose hacia la izquierda, ya que si exigimos que la fase [matemáticas] \ varphi = (kx + \ omega t) = \ varphi_0 [/ math] de las dos ondas es constante en el tiempo, luego a medida que [math] t [/ math] aumenta, [math] x [/ math] disminuirá: [math] x = (\ varphi_0 – \ omega t) / k [/ math]. Claramente, la velocidad de fase de las ondas es [matemática] v = \ frac {\ omega} {k} [/ matemática].

Así que ciertamente podemos esperar que una ola se mueva en la misma dirección y con la misma velocidad fuera de esta superposición. Podemos reescribirlo fácilmente para mostrar esto claramente.

Su formulario es equivalente a:

[matemáticas] y (t) = \ alpha \ cos (kx + \ omega t) + \ beta \ sin (kx + \ omega t) [/ matemáticas]

Ahora deja

[matemáticas] \ gamma = \ sqrt {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (\ delta) = \ frac {\ alpha} {\ gamma}, \, \, \ sin (\ delta) = \ frac {\ beta} {\ gamma} [/ math],

así que eso

[matemáticas] \ begin {align} y (t) & = \ gamma (\ cos {(\ delta)} \ cos {(kx + \ omega t)} \\
& + \ sin (\ delta) \ sin {(kx + \ omega t)})
\ end {align} [/ math]

[matemáticas] y (t) = \ gamma \ cos (kx + \ omega t – \ delta) [/ matemáticas].

Y esto es solo una onda de coseno desplazada en fase con una amplitud que es la suma en cuadratura de las amplitudes de las dos ondas originales y está viajando en la misma dirección que las ondas seno y coseno originales, como debe ser.

Ahora, no cometiste ningún error en álgebra o en tu conclusión de que obtienes una onda viajera de una superposición de dos ondas estacionarias.

Es solo que no escribiste la forma más simple, y pensé que valía la pena hacerlo.

Las dos ondas estacionarias que encontraste se suman para dar la onda viajera. Lo hacen al interferir entre sí.

Ahora, ¿qué pasa con la cuestión de la transferencia de energía o el flujo de energía?

Es muy interesante.

En una sola onda estacionaria, la energía no va a la izquierda en promedio, ni a la derecha, como se observa. Sin embargo, claramente siempre hay energía en el patrón de onda.

Con el mismo método que usó, puede descomponer fácilmente una sola onda estacionaria en dos ondas viajeras, una que va hacia la izquierda y otra hacia la derecha. Vamos a hacer eso. No es del todo difícil.

[matemáticas] \ begin {align} z (t) & = \ gamma \ cos (kx) \ cos (\ omega t) \\
& = \ frac {1} {2} \ gamma (\ cos (kx) \ cos (\ omega t) \\ & + \ sin (kx) \ sin (\ omega t) \\ & + \ cos (kx) \ cos (\ omega t) \\ & – \ sin (kx) \ sin (\ omega t)) \\
z (t) & = \ frac {1} {2} \ gamma (\ cos (kx – \ omega t) + \ cos (kx + \ omega t))
\ end {align} [/ math]

Por lo tanto, se encuentra que las dos ondas viajeras dirigidas en sentido opuesto tienen exactamente la misma amplitud entre sí, pero no la misma amplitud que la onda estacionaria que produce su patrón de interferencia. Cada onda componente tiene solo la mitad de la amplitud de la onda estacionaria.

Pero como podemos descomponer una onda estacionaria en una onda que viaja hacia la izquierda y hacia la derecha, ¡claramente no puede ser exactamente correcto decir que no hay transferencia de energía en una onda estacionaria!

Encontramos que una onda estacionaria en realidad contiene dos ondas viajeras con flujos de energía que van en direcciones opuestas, que se cancelan exactamente entre sí para no dar flujo neto que vaya en ninguna dirección en ningún punto dado.

Cuando agrega dos ondas estacionarias de la misma amplitud, pero con la diferencia de fase correcta en el tiempo y en el espacio, como descubrió, el patrón de interferencia puede ser una onda viajera con una amplitud diferente.

Esto no es una sorpresa si recuerda que cada una de las dos ondas estacionarias que eligió estaba formada por una onda viajera hacia la izquierda y una onda viajera hacia la derecha.

Para establecer un patrón de onda estacionaria en un medio lineal, debe iniciar tanto el tren de ondas que va a la izquierda como el que va a la derecha, y si los dos trenes de onda no tienen exactamente la misma amplitud, entonces no obtendrá una onda estacionaria.

Establecer estos dos trenes de ondas en los extremos opuestos de una longitud muy larga de medio transmisor que inicialmente no oscila, requerirá que el medio oscile. Y esto requerirá una entrada de energía en ambos extremos.

Esto producirá dos flujos de energía, moviéndose en direcciones opuestas, transportados en dos amplitudes iguales pero en trenes de ondas opuestos.

Si no hay pérdidas en el medio, cuando los trenes de ondas se encuentren en algún lugar en el medio, aún teniendo las mismas amplitudes, producirán una onda estacionaria mientras duren los trenes de ondas.

Ahora vale la pena decir una cosa más. Esta propiedad de la onda estacionaria, que es una superposición de una onda que viaja hacia la izquierda y hacia la derecha, es muy general, de hecho, es una propiedad completamente general de las ondas en un medio unidimensional lineal, no dispersivo.

Tales ondas satisfacen una ecuación diferencial parcial en la forma:

[matemática] \ partial_t ^ 2 \ varphi (x, t) + c ^ 2 \ partial_x ^ 2 \ varphi (x, t) = 0 [/ math].

La solución general de esta ecuación, llamada la ecuación de onda para abreviar, se puede encontrar por el método de características, y la solución por este método generalmente se acredita a d’Alembert. Es un simple cambio de variables, seguido de la integración directa de la ecuación. La solución general toma una forma muy simple:

[matemáticas] \ varphi (x, t) = f (x + ct) + g (x – ct) [/ matemáticas].

Es decir, cualquier onda posible que satisfaga esta ecuación de onda simple es una superposición de una onda izquierda de alguna forma fija y una onda derecha de alguna forma fija.

Estas dos ondas pueden analizarse más a fondo en componentes de frecuencia mediante el uso de la transformada de Fourier. Todo esto se debe a la linealidad de la ecuación: una superposición de dos soluciones a la ecuación es nuevamente una solución de la ecuación.

Si modificamos nuestra ecuación de onda simple para que ya no sea lineal, por ejemplo, si consideramos esta ecuación de onda

[matemática] \ partial_t ^ 2 \ varphi + c ^ 2 \ partial_x ^ 2 \ varphi + a ^ 2 \ varphi ^ 2 = 0 [/ math],

entonces nada de lo anterior sería cierto en general, y tendríamos que hacer un análisis matemático mucho más complicado para analizar las soluciones de la ecuación.

Mark Eichenlaub

a) Las ondas estacionarias son superposición de dos ondas viajeras en la dirección opuesta (no al revés)

b) Las ondas estacionarias NO transfieren energía, almacenan energía (a diferencia de las ondas viajeras que transfieren energía de un punto a otro)

Alex Wang

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