Cómo demostrar que si (X, T) es un espacio topológico, entonces A es un conjunto cerrado si X / A está abierto

Esta es a menudo la definición de un conjunto cerrado en un espacio topológico, sin embargo, utilizaremos la definición de que un conjunto cerrado es un conjunto que contiene todos sus puntos límite.

Primero, suponga que [math] A [/ math] es un conjunto cerrado. Mostraremos que su cumplido está abierto. Debido a que [math] A [/ math] está cerrado, cualquier punto [math] x [/ math] en su complemento no es un punto límite de [math] A [/ math]. Por lo tanto, hay un conjunto abierto [math] U_x [/ math] que contiene [math] x [/ math] y que está completamente contenido en [math] A ^ c [/ math]. Entonces, [math] A ^ c [/ math] es la unión de todos los conjuntos [math] U_x [/ math] para todos [math] x \ en A ^ c [/ math]. Entonces [matemáticas] A ^ c [/ matemáticas] está abierto.

Ahora suponga que [matemáticas] A ^ c [/ matemáticas] está abierto. Sea [math] x [/ math] un punto límite de [math] A [/ math]. Pero entonces [math] x [/ math] no puede estar en [math] A ^ c [/ math] porque este es un conjunto abierto que separaría este punto de [math] A [/ math]. Por lo tanto, todos los puntos límite de [matemáticas] A [/ matemáticas] deben estar en [matemáticas] A [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] A [/ math] está cerrado.

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