Para un agujero negro con masa [matemática] M [/ matemática], carga eléctrica cero y momento angular cero, el radio de Schwarzschild es el radio del horizonte de eventos. Su valor es [matemática] 2GM / c ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] G [/ matemática] es la constante gravitacional y [matemática] c [/ matemática] es la velocidad de la luz. Como [matemáticas] G [/ matemáticas] es un número muy pequeño y [matemáticas] c [/ matemáticas] es un número muy grande, el radio de Schwarzschild es muy pequeño a menos que la masa sea muy grande. Por ejemplo, el radio Schwarzschild de la Tierra es de aproximadamente 9 mm, por lo que si la Tierra se convirtiera en un agujero negro, sería aproximadamente del tamaño de una canica. Si el Sol se convirtiera en un agujero negro, tendría un radio de 3 km. Por lo tanto, su superficie sería de unos 110 km cuadrados, menos de una décima parte del tamaño de la ciudad de Nueva York.
Para los interesados, aquí hay más teoría.
El radio de Schwarzschild aparece cuando intentamos encontrar una solución de vacío estática, esféricamente simétrica, asintóticamente plana para las ecuaciones de campo de Einstein. Hacerlo en general produce un solo parámetro libre [math] r_s [/ math] y la métrica
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Tenga en cuenta que poner [math] r_s = 0 [/ math] da espacio-tiempo plano.
Para determinar el significado físico de la métrica de Schwarzschild, necesitamos tomar el límite newtoniano de GR. Esta derivación se puede encontrar en cualquier libro de texto GR, por lo que no la repetiré aquí. El resultado es que, cuando todas las partículas se mueven lentamente y estamos lejos de grandes masas,
[matemáticas] g_ {00} \ aprox 1 + \ frac {2 \ Phi} {c ^ 2} [/ matemáticas]
donde [math] \ Phi [/ math] es el potencial gravitacional newtoniano, [math] \ Phi = -GM / r [/ math]. Por lo tanto, la solución de Schwarzschild se reducirá a la ley de gravitación de Newton si y solo si [math] r_s = 2GM / c ^ 2 [/ math]. Así es como se deriva la fórmula para el radio de Schwarzschild.
La solución de Schwarzschild es válida fuera de cualquier masa esféricamente simétrica, como una estrella de neutrones, y puede usarse para deducir la cantidad de dilatación del tiempo gravitacional cerca de una estrella de neutrones. Sin embargo, no es válido dentro de un cuerpo masivo, ya que es una solución de vacío .
Lo más interesante es lo que sucede cuando [math] r <r_s [/ math]. Si resuelve la ecuación geodésica para la métrica de Schwarzschild, encontrará que cualquier partícula que comience en [math] r <r_s [/ math] inevitablemente caerá hacia valores cada vez más pequeños de [math] r [/ math] independientemente del dirección inicial de su velocidad. El espacio-tiempo está tan fuertemente curvado que todas las direcciones futuras apuntan hacia adentro; las únicas direcciones que apuntan hacia afuera son las que apuntan hacia el pasado, por lo que la única forma de escapar a valores más altos de [matemáticas] r [/ matemáticas] sería retroceder en el tiempo.
En particular, esta situación solo puede ocurrir cuando toda la masa del cuerpo se encuentra dentro de su propio radio de Schwarzschild, como si realmente pudieras comprimir el Sol hasta que su radio fuera de solo 3 km. Una vez que haces eso, entonces, como dije, cualquier partícula que se encuentre dentro del radio de Schwarzschild nunca podrá volver a salir. En efecto, se ha formado un horizonte de eventos y el objeto resultante es un agujero negro.
Dos advertencias aquí.
1) La solución de Schwarzschild se deriva de un supuesto de simetría esférica. Si la masa que colapsó para formar el agujero negro tenía un momento angular neto distinto de cero, entonces el resultado no será esféricamente simétrico, ya que habrá una dirección privilegiada (el eje de rotación). Por lo tanto, la solución de Schwarzschild no es correcta para rotar agujeros negros, y el radio del horizonte de eventos no será el radio de Schwarzschild. En cambio, el espacio-tiempo alrededor de un agujero negro giratorio se describe mediante la métrica de Kerr.
2) La solución de Schwarzschild se deriva de la suposición de que hay un vacío fuera de la masa. Esto no es cierto si la masa que colapsó para formar el agujero negro tenía una carga eléctrica distinta de cero, ya que dicho agujero negro tendrá un campo eléctrico a su alrededor, y la presencia de un campo electromagnético significa que ya no tiene vacío en el sentido de GR —El campo electromagnético hará una contribución distinta de cero al tensor de energía de estrés. Por lo tanto, la solución de Schwarzschild no es correcta para los agujeros negros cargados, y el radio del horizonte de eventos no será el radio de Schwarzschild. El espacio-tiempo alrededor de un agujero negro cargado se describe en su lugar por la métrica Reissner-Nordström.
Si el agujero negro está cargado y girando, entonces la solución es la métrica Kerr-Newman.