Interesante pregunta.
Te daré dos formas diferentes de obtener la respuesta.
Pero primero tenemos que hacer algunas suposiciones:
- ¿Sería más seguro en una batalla espacial para pilotos de barcos sin gravedad, o para pilotos de barcos con gravedad simulada?
- Específicamente, ¿de qué se trata la materia que permite que exista la gravedad? ¿Alguien REALMENTE lo sabe?
- Si fuéramos a una gravedad más alta, ¿seríamos más fuertes?
- ¿La luz se ve afectada por la gravedad, o no?
- ¿La órbita de la Tierra ha sido inmutable en los últimos 4 mil millones de años o puede variar de +/- 25,000 a 100,000 millas durante décadas o más antes de normalizarse?
1. La tierra es esférica
2. La tierra es homogénea.
3. El túnel no contiene gas para frenar el objeto.
Entonces empecemos:
El objeto realizará un movimiento armónico simple (SHM) y comenzará desde el reposo en la superficie.
Alcanzará la velocidad máxima, V (máx.), En el centro de la Tierra.
La aceleración máxima, a (max), del objeto estará en la superficie de la tierra y será de 9.81 m / ss.
Ahora algunas fórmulas para SHM:
V (máx.) = 2 pi f A ……………………………. (1)
f = frecuencia y A = amplitud
a (máx.) = 4 pi pi ff A ………………………… .. (2)
Ahora haga un poco de matemática y combine las ecuaciones (1) y (2) para eliminar la frecuencia :
a (máx.) = V (máx.). V (máx.) / A
El radio promedio de la tierra es 6 371 000 metros y esta será la amplitud del objeto, entonces:
9.81 = V (máx.). V (máx.) / (6371000)
Entonces:
V (máx.) = 7906 metros por segundo
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Un poco de física extra
En el instante en que el objeto atraviese el centro de la Tierra, tendrá una velocidad máxima pero cero aceleración.
Esto se debe a que la fuerza de la gravedad, g, DENTRO de la tierra es proporcional a la distancia que se encuentra desde el centro de la tierra. En el centro de la tierra, esta distancia es cero, entonces g = o.
El valor máximo de g está en la superficie de la tierra donde g es aproximadamente 9.8 N / kg, entonces a = 9.8 m / ss.
A mitad de camino hacia el centro de la Tierra, la aceleración será la mitad de 9.8, por lo que unos 4.9 m / ss.
Es por eso que nuestro cuerpo está realizando un movimiento armónico simple: la definición de SHM es el movimiento donde la aceleración es directamente proporcional a su distancia desde el centro de la oscilación y siempre hacia el centro de la oscilación.
El centro de la oscilación es el centro de la tierra.
Una vez que el objeto pasa por el centro, comienza a disminuir y SOLO llega al otro lado de la tierra donde se detiene momentáneamente, antes de caer hacia el centro de la tierra.
Simplemente sigue oscilando con SHM.
Esto solo es cierto porque asumimos que hay un vacío dentro del tubo, por lo que no se pierde energía como calor.
Si el tubo contuviera un gas, el objeto ejecutaría un movimiento armónico simple amortiguado donde su amplitud (la distancia máxima que recorre desde el centro) se reduce cada vez menos. El objeto finalmente se detendrá en el centro de la tierra.
En el centro de la tierra tiene un peso cero (recuerde que g = o en el centro de la tierra).
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¿HAY OTRA MANERA DE RESPONDER ESTA PREGUNTA?
Si.
También podemos obtener la misma respuesta si usamos energía potencial y cinética.
Si te paras en el centro de la tierra, ¿qué tan rápido tendrías que lanzar la pelota para que SOLO llegue a la superficie de la tierra?
Llame a esta velocidad, v.
Podemos decir energía cinética perdida = energía potencial ganada.
Entonces,
0.5 mvv – 0 = energía potencial de la pelota en la superficie menos energía potencial de la pelota en el centro de la tierra
Entonces:
0.5 mvv = – GM m / R – (-1.5 GMm / R)
Podrá encontrar la prueba en Internet de que:
La energía potencial en el centro de una esfera sólida es -1.5 GMm / R
La energía potencial en la superficie de una esfera sólida es – GMm / R
M = masa de tierra
m = masa de pelota
G = constante gravitacional universal
Esta ecuación se simplifica a:
vv = GM / R
vv = 6.67 x 10 ^ -11 x 5.97 x 10 ^ 24 / 6.37 x 10 ^ 6
Dando:
v = 7906 metros por segundo
