¡Gracias Miguel Alonso por el A2A y perdón por el retraso!
Ahora puedo responderte bien.
El espectro de potencia de CMB representa cuán anisotrópicas son las temperaturas de CMB.
La temperatura CMB con respecto a la posición, las diferencias en el momento del fotón y el tiempo (conforme) generalmente se escribe como:
[matemáticas] T (\ vec {x}, \ hat {p}, \ eta) = \ bar {T} (\ eta) (1 + \ Theta (\ vec {x}, \ hat {p}, \ eta )[/matemáticas]
donde [math] \ bar {T} (\ eta) [/ math] es la temperatura media de CMB con respecto al tiempo conforme y [math] \ Theta = \ frac {T – \ bar {T}} {\ bar {T }} [/ math] representa una diferencia porcentual en una temperatura en una dirección dada en el CMB.
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Ahora, podemos descomponer las diferencias de temperatura en armónicos esféricos (la página en wolfram.com es una buena referencia, aunque estoy usando una notación ligeramente diferente):
[matemáticas] \ Theta (\ vec {x}, \ hat {p}, \ eta) = \ sum_ {l = 1} ^ \ infty \ sum_ {m = -l} ^ l a_ {lm} (x, \ eta) Y_ {lm} (\ hat {p}) [/ math],
donde [matemáticas] \ vec {x} = x \ hat {p} [/ matemáticas], es decir, solo estamos considerando puntos en el cielo de donde provienen nuestros fotones, lo cual, bueno, ¡se espera considerando cómo se hacen las observaciones!
Los coeficientes de la expansión, [math] a_ {lm} [/ math] se pueden encontrar con un truco similar al utilizado en las expansiones de Fourier:
[matemáticas] a_ {lm} = \ int \ mathrm {d} \ Omega_p \, \ Theta (\ vec {x}, \ hat {p}, \ eta) Y_ {lm} ^ * (\ hat {p}) [/matemáticas].
Normalmente tenemos nuestra [matemática] \ Theta [/ matemática] en el espacio de Fourier, es decir, con respecto al número de onda [matemática] k [/ matemática]. Entonces podemos escribir:
[matemáticas] a_ {lm} = \ int \ mathrm {d} \ Omega_p \ int \ frac {\ mathrm {d} ^ 3 k} {(2 \ pi) ^ 3)} \, e ^ {i \ vec { k} \ cdot \ vec {x}} \ Theta (\ vec {k}, \ hat {p}, \ eta) Y_ {lm} ^ * (\ hat {p}) [/ math].
Muy bien, obtengamos algunos valores promedio / esperados:
[matemáticas] \ langle a_ {lm} \ rangle = 0 [/ matemáticas]. ¿Por qué? El universo es homogéneo e isotrópico.
Ahora viene lo que quieres:
[matemáticas] \ langle a_ {lm} a_ {l’m ‘} \ rangle = \ delta_ {l l’} \ delta_ {m m ‘} C_l [/ math]. Esto se puede probar usando las propiedades de los armónicos esféricos y define más o menos los [math] C_l [/ math] ‘s.
Preguntas por qué esto se llama un poder. Esto viene por analogía con el espectro de potencia de la materia. Consideremos la densidad del universo a una escala [matemática] k [/ matemática] (una vez más, ¡estoy trabajando en el espacio de Fourier! Entonces, números de onda, no posiciones):
[matemáticas] \ rho ({\ vec {k}}) = \ bar {\ rho} (1+ \ delta (\ vec {k})) [/ matemáticas],
donde [math] \ delta (\ vec {k}) = \ frac {\ bar {\ rho} – \ rho (\ vec {k})} {\ bar {\ rho}} [/ math] es la sobredensidad del asunto . ¿Ves las similitudes?
Ahora, cuando tienes una transformada de Fourier de algo, puedes definir su espectro de potencia: representa “cuánto de algo tienes en una escala dada”. Para la materia:
[matemáticas] \ langle \ delta (\ vec {k}) \ delta (\ vec {k} ‘) \ rangle = (2 \ pi) ^ 3 \ delta (k – k’) P (k) [/ matemáticas] , donde tenemos un delta de Dirac, un espectro de potencia y un término [matemático] (2 \ pi) ^ 3 [/ matemático] que representa la característica 3D del número de onda.
¿Ves lo similares que son?
¡Ahora, algo interesante de la cosmología es que podemos relacionar el espectro de potencia de la materia con el espectro angular CMB!
Tenemos que los multipolares CMB para cada escala angular se definen como:
[matemáticas] \ Theta_l (k) = \ int _ {- 1} ^ 1 \ frac {\ mathrm {d} \ mu} {2} P_l (\ mu) \ Theta (k, \ mu) [/ math], donde [math] \ mu \ equiv \ frac {\ vec {k} \ times \ hat {p}} {k} [/ math] y [math] P_l [/ math] son los polinomios de Legendre.
Entonces, finalmente, podemos relacionar el espectro CMB con el espectro de la materia como:
[matemáticas] C_l = 4 \ pi \ int \ frac {\ mathrm {d} k} {2 \ pi ^ 2} \, k ^ 2 P (k) \ left | \ frac {\ Theta_l (k)} {\ delta (k)} \ right | ^ 2 [/ math].
Los [math] C_l [/ math] ‘s traen mucha información sobre el universo. Por ejemplo, tenemos información de cosas como el efecto Sachs-Wolfe, un efecto de desplazamiento al rojo gravitacional de los fotones CMB tanto en la última dispersión (cuando el universo se volvió transparente) como en momentos posteriores (efecto Sachs-Wolfe integrado). A altas [matemáticas] l [/ matemáticas], también podemos detectar cúmulos de galaxias observando cuán diferente es el poder del promedio. Esto lo hace Planck, sin embargo, no sé mucho más al respecto (hoy hablé con mi profesor de Física Cosmológica sobre el espectro CMB y me lo mencionó).
Espero que quieras referencias …
Cosmología moderna, Scott Dodelson, capítulo 8. Dodelson presta mucha atención al espectro angular en este capítulo.
Fundamentos físicos de la cosmología, Viatcheslav Mukhanov, capítulo 9, también tiene mucha información.
Perdón por la falta de tramas e imágenes: ¡No conozco ninguna trama reciente y mis propias tramas aún no están hechas! Intentaré actualizar esta respuesta la próxima semana con algunas tramas.
