Descargo de responsabilidad: voy a asumir un conocimiento básico de conjuntos (finitos), espacios vectoriales y polinomios. Muchos considerarían que esos son requisitos previos serios. Pero realmente no puedo pensar en documentos académicos significativos en las matemáticas modernas que puedan leerse sin este nivel de conocimiento y comodidad.
Aquí hay algunos en combinatoria (matemáticas discretas) que cualquiera podría leer sin requisitos previos serios. También recomendaría que cualquiera que esté interesado en esta área de las matemáticas (pero no “todos” en el sentido general) debería leerlos.
- De Bruijn – Erdős, Una sonda combinatoria, 1948. Un clásico de uno de los combinatorios más prolíficos e importantes, Paul Erdős. Demuestra el tipo de problemas estudiados en combinatoria extrema. Se nos dan algunas combinaciones (subconjuntos) de una colección de objetos y una condición sobre esas combinaciones. Queremos descubrir a lo sumo cuántas combinaciones puede haber en estas condiciones. También nos gustaría comentar cómo se ven las combinaciones que alcanzan este límite superior.
- RC Bose, una nota sobre la desigualdad de Fisher para diseños de bloques incompletos equilibrados, 1949. Es un breve documento de dos páginas que posiblemente originó los llamados métodos de álgebra lineal (el argumento de la dimensión, en particular) en combinatoria.
- Aart Blokhuis, Un nuevo límite superior para la cardinalidad de conjuntos de 2 distancias en el espacio euclidiano, 1984. Este demuestra el poder de estos argumentos de dimensión. Utiliza un espacio vectorial de polinomios para determinar a lo sumo cuántos puntos puede tomar con la propiedad de que cada par tiene una distancia a o una distancia b entre ellos. De hecho, solo sigue leyendo este libro: Métodos de álgebra lineal en combinatoria. La filosofía general se puede describir de la siguiente manera:
Dado un conjunto de puntos (o vectores, o conjuntos) que satisfacen alguna propiedad, queremos decir algo sobre el tamaño o la estructura de este conjunto. El enfoque consiste en asociar a este conjunto un polinomio, o una colección de polinomios, y utilizar las propiedades de los polinomios para obtener información sobre el tamaño o la estructura del conjunto.
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- Noga Alon, Combinatorial Nullstellensatz, 1999. Esta es una herramienta realmente poderosa en combinatoria, que incluso un estudiante de secundaria puede entender. De hecho, ya se ha convertido en parte de la enseñanza de la olimpiada matemática en muchos lugares. La filosofía general es la misma, dado un conjunto finito de cosas, asociar un polinomio con él, y luego usar este polinomio para decir cosas útiles sobre el conjunto.
- Zeev Dvir, Sobre el tamaño de los sets de Kakeya en campos finitos, 2008. Esto generó mucha emoción. Solucionó un famoso problema abierto usando medios realmente elementales, que cualquier estudiante de matemáticas puede entender fácilmente. También vea esto, la prueba de Dvir de la conjetura de Kakeya de campo finito. Nuevamente, se ajusta al área general de los métodos polinómicos en combinatoria. Entonces, puedes ver claramente mi sesgo aquí.