Por razones desconocidas, la mayoría de las personas piensan que los arcoíris son el resultado de una desviación de cada color a través de un ángulo único después de un reflejo interno. A pesar de su popularidad, esto es completamente falso. El ángulo del arco iris es el mínimo de una función, por lo que tiene todo que ver con el cálculo.
Para una buena explicación, vea El cálculo de los arcoíris. Si mis notas de hace un año funcionan, intentaré resumirlas. Pero no soy bueno formateando.
Primero, la óptica: (1) Cuando la luz golpea una gota de lluvia en el ángulo A con respecto al radio (la superficie normal), ingresa a la caída en el ángulo B (k) según lo determina la Ley de Snell. Aquí, k es el índice de refracción, alrededor de 1,33 para el agua. Entonces B es una función tanto de A como del color de la luz. (2) Esta luz se desvía por AB (k) . (3) Cuando llega a la parte posterior de la caída, dado que su trayectoria parte de un triángulo isósceles con los dos radios, golpea la superficie en el mismo ángulo B. Este ángulo es, por definición, menor que el ángulo crítico, por lo que no se produce la reflexión interna total. (4) Se refleja algo de luz y algunas salidas. La parte que sale desvía otro AB (y sí, “positivo” está en la misma dirección que antes). La parte que refleja se desviará por π-2B . (5) Esto se repite cada vez que la luz interna llega a la superficie. Entonces, después de N reflexiones internas, la luz ha desviado un total de D (A, N, k) = Nπ + 2A + 2 (N + 1) * B (k) . (Nota: la definición más común de D saca un reflejo e invierte el signo; este tratamiento más riguroso no lo hará).
Segundo, la interpretación de la óptica: (1) Intente trazar D (A, 1,1.33) . Comienza en D (0,1,1.33) = π , disminuye a medida que A aumenta durante un tiempo, tiene un mínimo alrededor de A = 60 ° y D = 138 ° , y luego vuelve a aumentar. Por lo tanto, cada color se refleja en todos los ángulos dentro de un cono que está aproximadamente a 40 ° 42 ° de ancho. (2) D ‘(A, 1,1.33) = 0 en los bordes de este cono, ya que es el mínimo de la función. (3) La cantidad de luz observada en cualquier área del cielo definida por ΔD es proporcional a la cantidad de luz en el área correspondiente de la luz solar entrante ΔA . (4) Entonces, la intensidad de la luz en cualquier D es inversamente proporcional a D ‘ en cualquier ángulo de observación. (5) Repito, D ‘(A, 1,1.33) = 0 en el borde del cono. La intensidad de la luz es, al menos en teoría, infinita en el borde del cono. (6) En la práctica, vemos la luz solo dentro de un ancho finito, por lo que es finita. Muy brillante, pero finito.
Tercero, el cálculo: (1) Para una reflexión, necesitamos determinar dónde está el mínimo de D (A, 1,1.33) = π + 2A + 4B (k) ; es decir, donde D ‘= 0. (2) La Ley de Snell dice k * sin (B) = sin (A) , entonces B ‘= cos (A) / cos (B) / k . (3) D (A) = π + 2A-4B , entonces D ‘(A) = 2-4B’ . (4) Establecer esto en cero hace que B ‘ = 1/2 = cos (A) / cos (B) / k . (5) Esto se resuelve (complicado) cuando sin (A) = sqrt [1- (k ^ 2-1) / 3], entonces sin (B) = sqrt [1- (k ^ 2-1) / 3] / k. (6) Esto hace que 137.48 ° (o 42.52 ° cuando se mira en la dirección opuesta) sea el ángulo del arco iris para k = 1.33 .
(Editado para errores tipográficos: soy un mecanógrafo horrible)
