No está definido porque no tiene sentido. El infinito no es un elemento de la recta numérica real, por lo que las operaciones aritméticas habituales no se aplican a él. Para que esta expresión sea significativa, debe ser explícito sobre el contexto en el que se encuentra.
Podría tener sentido hablar de límites. El problema aquí es que la forma límite de [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math] es una forma Indeterminada, ya que dicho límite puede tener muchos valores. Mostraré dos ejemplos de tales límites que tienen valores diferentes:
[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {3x} {x} = \ lim_ {x \ to \ infty} 3 = 3 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {2x} {x} = \ lim_ {x \ to \ infty} 2 = 2 [/ matemáticas]
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Ambos límites claramente tienen la forma de [matemáticas] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ matemáticas], pero como he mostrado, son desiguales. Cuando vea un límite que tiene esta forma, no sabrá cuál es el valor. Tendrás que hacer más trabajo para descubrir qué es.
También podría intentar darle sentido a esto considerando alguna extensión topológica de la recta numérica real, como la recta numérica real extendida. Este conjunto contiene todos los números reales, más dos elementos adicionales que se llaman [math] – \ infty [/ math] y [math] \ + infty [/ math]. Algunas operaciones aritméticas se pueden definir de manera significativa para estos elementos adicionales. Por ejemplo, dado cualquier número real [matemática] a [/ matemática] tendremos [matemática] a + \ infty = + \ infty + a = \ infty [/ matemática]. Sin embargo, algunas operaciones no se pueden definir, como [math] + \ infty + – \ infty [/ math] o [math] \ frac {+ \ infty} {+ \ infty} [/ math]. No hay forma útil de definir tales expresiones en este objeto matemático.
