Sea [math] p, q [/ math] dos primos. [math] p [/ math] es un “mod de residuo cuadrático [math] q [/ math]” si hay algún otro entero [math] a [/ math] tal que [math] a ^ 2 – p [/ math ] es divisible por [math] q [/ math], o más simbólicamente, usando aritmética modular, si
[matemáticas] a ^ 2 \ equiv p \ bmod q. [/ matemáticas]
Por ejemplo, [math] 17 [/ math] es un residuo cuadrático [math] \ bmod 13 [/ math] porque
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[matemáticas] 2 ^ 2 \ equiv 17 \ bmod 13 [/ matemáticas]
pero resulta que [math] 5 [/ math] no es un residuo cuadrático [math] \ bmod 17 [/ math]. Puede mostrar esto simplemente enumerando todos los residuos cuadráticos [math] \ bmod 17 [/ math], o también hay otras cosas más inteligentes que puede hacer.
Si escribe una tabla grande de los números primos que son módulos cuadráticos que otros números primos y los mira detenidamente, notará un patrón muy interesante. Hay varias formas de describir este patrón, que se conoce con el nombre de reciprocidad cuadrática. Un buen caso especial es el siguiente: si [matemática] p [/ matemática] o [matemática] q [/ matemática] es [matemática] 1 \ bmod 4 [/ matemática] (lo que significa que dejan un resto de [matemática] 1 [/ math] después de dividirse por [math] 4 [/ math]), entonces [math] p [/ math] es un mod de residuo cuadrático [math] q [/ math] si y solo si [math] q [ / math] es un mod de residuo cuadrático [math] p [/ math].
Esto es muy sorprendente porque a priori estas dos condiciones no tienen nada que ver entre sí. Arriba elegí ejemplos que solo involucran tales números primos, de los cuales aprendemos que [math] 13 [/ math] es un residuo cuadrático [math] \ bmod 17 [/ math] y que [math] 17 [/ math] no es un quadratic residuo [matemática] \ bmod 5 [/ matemática]. Y de hecho
[matemáticas] 8 ^ 2 \ equiv 13 \ bmod 17 [/ matemáticas]
pero los residuos cuadráticos [matemática] \ bmod 5 [/ matemática] son [matemática] 0, 1, 4 [/ matemática], mientras que [matemática] 17 \ equiv 2 \ bmod 5 [/ matemática]. Entonces todo se verifica.
Quizás se pregunte si hay leyes de reciprocidad análogas para cubos, cuartos poderes o incluso poderes superiores, y las hay: tenemos reciprocidad cúbica y reciprocidad cuártica, y para los poderes superiores, la ley general se llama reciprocidad de Eisenstein. Una cosa interesante acerca de estas leyes es que, incluso si solo desea conocerlas para enteros comunes, para establecer las leyes de la manera más limpia, se ve obligado a introducir enteros algebraicos más interesantes, a saber, los enteros de Eisenstein, los enteros de Gauss y el ciclotómico. enteros (campo ciclotómico) respectivamente. Esta fue una fuerte motivación detrás de gran parte del desarrollo de la teoría de números algebraicos.
Para una primera aproximación, la teoría de campo de clase trata sobre una generalización adicional de todas estas leyes de reciprocidad llamadas reciprocidad de Artin.
