El significado ‘general’ de velocidad que probablemente tenga en mente es probablemente el de una partícula localizada en el espacio físico. Cuando tiene un campo extendido por todas partes, no hay forma de elegir canónicamente una posición en cada instante de tiempo, por lo que debe seguir alguna receta que parezca lo suficientemente natural. Como resultado, hay dos de esas recetas. En una, observa las superficies de fase constante y observa qué tan rápido se mueven estas superficies, mientras que en la otra hace lo mismo para las superficies de amplitud constante. La velocidad (o más bien el campo de velocidad) que obtienes en el primer caso se llama velocidad de fase, y la que obtienes en el segundo caso se llama velocidad de grupo.
Había escrito una respuesta mucho más detallada sobre esto en algún momento anterior y reproduzco algunos de los bits relevantes a continuación.
La noción de velocidad como se define para las partículas está naturalmente asociada con el espacio real. Esto no es sorprendente en absoluto ya que las partículas se definen después de todos los objetos de forma más natural en el espacio real. Por el contrario, las ondas son objetos que se definen de forma más natural en el espacio de Fourier, por lo que tiene sentido decir que la noción correspondiente a la velocidad en este caso debería asociarse naturalmente con el espacio de Fourier en lugar del espacio real. Ahora, la velocidad en sí no es una noción bien definida aquí; lo que veremos en cambio es la velocidad inversa, que denotaré por [math] \ boldsymbol \ upsilon [/ math] (No sé si es perceptible, pero se supone que es un upsilon en lugar de un [math] ] \ boldsymbol v [/ math] que LaTeX representa como algo más delgado). Esto no debería ser demasiado extraño; después de todo, los espacios entre redes en la red recíproca de un cristal (que no es más que su espacio de Fourier) se miden en unidades de longitud inversa.
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Ahora, hablemos de una onda que puede definirse en cualquier cantidad de dimensiones (por ejemplo, [matemática] N [/ matemática]). Podemos expresar esto en general como una función de valor compleja [matemáticas] \ psi (t, \ boldsymbol x) [/ matemáticas]. Esto se puede escribir en términos de funciones de valor real [matemática] A (t, \ boldsymbol x) [/ math] y [math] \ phi (t, \ boldsymbol x) [/ math] como [math] \ psi = A e ^ {i \ phi} [/ math]. Por supuesto, [math] A [/ math] es la amplitud, mientras que [math] \ phi [/ math] es la fase. Pensamos que la onda está formada por dos familias de superficies, una compuesta de superficies de constante [matemática] A [/ matemática] y la otra de superficies de constante [matemática] \ phi [/ matemática], ondulando y propagándose a través del espacio con tiempo. Por lo tanto, podemos asignar dos campos de velocidad inversa [matemática] \ boldsymbol \ upsilon_g (t, \ boldsymbol x) [/ math] y [math] \ boldsymbol \ upsilon_p (t, \ boldsymbol x) [/ math] que básicamente miden la lentitud Estas superficies se mueven a través del espacio. Más precisamente, tenemos
[matemática] \ boldsymbol \ upsilon_g \ partial_t A + \ nabla _ {\ boldsymbol x} A = 0, [/ math]
[matemáticas] \ boldsymbol \ upsilon_p \ partial_t \ phi + \ nabla _ {\ boldsymbol x} \ phi = 0. [/ math]
Como los subíndices pueden indicar, he identificado estas velocidades inversas como los “recíprocos” de las velocidades de grupo y fase respectivamente.
