Profundizaré en la explicación más profunda. Primero, está el conjunto de ecuaciones denominadas ecuaciones de dinámica de cuerpo rígido de Euler, que relacionan las velocidades de giro sobre los ejes principales con la velocidad de cambio de la velocidad de giro y el momento neto sobre el centro de masa a lo largo de esos ejes principales. Me referiré a una excelente presentación en “http://ocw.mit.edu/courses/aeron…”
NOTA: Las tasas de giro se denotan con la letra omega en minúscula (parece una ‘w’), siendo los valores del momento de inercia ‘I’. Un punto sobre un término de velocidad de giro denota la velocidad de cambio.
Para el caso de no momento aplicado, las ecuaciones se reducen a cada ecuación siendo en sentido la tasa de cambio de la velocidad de giro para uno de los ejes principales que es igual a un coeficiente en términos de los valores de los 3 ejes principales multiplicado por el producto de las otras velocidades de giro (es decir, otro no es el de la aceleración angular en la ecuación). El coeficiente es la diferencia de los valores de los otros momentos principales de intertia (el momento de inercia es siempre un valor positivo), dividido por el valor para ese valor correspondiente al eje que tiene el término de la tasa de cambio de la tasa de rotación . El punto clave aquí es que si los ejes principales son distintos y están ordenados de tal manera que el momento de interia para estos ejes es como x <y <z, entonces el signo neto de este coeficiente es positivo para las ecuaciones para las tasas de cambio de la velocidades de giro para x & z (es decir, correspondientes a los valores más pequeños y más grandes para los momentos de inercia), pero negativos para y (es decir, correspondientes al valor medio de los momentos de intertia). (Voy a referirme a este coeficiente como el coeficiente intermedio.) (Esto se muestra en la página 4 del documento mencionado). (NOTA: En mi descripción, he ido un paso más y he dividido las ecuaciones por el momento de la intertia correspondiente al término para la tasa de cambio de la velocidad de centrifugado).
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Ahora suponga el caso de que haya un giro grande en un acis y solo giros muy pequeños en los demás (matemáticamente podría decirse que estos pequeños giros son peturbaciones, y que básicamente hay la misma idea que un elemento diferencial en el cálculo). Para la dirección del giro grande, la velocidad de cambio de la velocidad de giro es proporcional al producto de las 2 velocidades de giro pequeñas, por lo que es una perturbación de segundo orden, y por lo tanto va a 0 antes de cualquier término de primer orden; suponiendo que habrá términos de perturbación de primer orden que no sean 0, este término de segundo orden será 0 y, por lo tanto, la velocidad de rotación para este eje es constante.
Con esta constante de velocidad de giro, las otras 2 ecuaciones se convierten en la forma en que la velocidad de cambio de las velocidades de giro de un eje es igual a la velocidad de giro del otro eje de giro no constante (multiplicado por un coeficiente). Cualquier ecuación que tenga parámetros que son función es tiempo puede extenderse a una ecuación en la que esos parámetros son todas las tasas de cambio de esos parámetros, por lo que al hacer esto en una de estas 2 ecuaciones, hay una ecuación que relaciona la tasa de cambio de la velocidad de cambio de una velocidad de giro de un eje en términos de la velocidad de cambio de la velocidad de giro del otro eje; entonces la otra ecuación, que relaciona la tasa de cambio de la tasa de rotación del otro eje con la tasa de rotación del eje original, puede ser sustituida, lo que resulta en una ecuación que resulta en la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de rotación a la misma velocidad de giro. Y como todos los coeficientes son constantes, la ecuación neta es lo que los matemáticos llaman una ecuación diferencial lineal de segundo orden, en forma de la tasa de cambio de la tasa de cambio de un parámetro más el parámetro multiplicado por un coeficiente constante, todo igual a cero. (Me referiré a este coeficiente como el coeficiente final).
Ahora recuerde antes que hice una gran mención al hecho de que los coeficientes de las ecuaciones originales son positivos para los ejes correspondientes a los momentos de intertia más pequeños y más grandes, pero negativos para el medio. Esto es crucial porque el coeficiente final para el término de velocidad de rotación es el negativo del producto de esos coeficientes multiplicado por el término de velocidad de rotación constante (y como un cuadrado siempre es positivo). Lo que esto significa es que este el * signo * de este coeficiente final es el negativo del producto de los signos de los 2 coeficientes intermedios correspondientes a los otros ejes. Para el caso de los ejes correspondientes a los valores más pequeños o más grandes del momento de inercia, los términos intermedios son siempre tales que uno es positivo y el otro negativo, y por lo tanto el coeficiente final es siempre positivo. Sin embargo, para el caso del eje correspondiente al valor medio del momento de intertia, estos términos son tanto positivos como negativos, con el producto de eso siempre siendo positivo, lo que resulta en que el coeficiente final siempre sea negativo.
Entonces, en este punto, tenemos para el caso de un gran giro a lo largo de un eje principal y alguna perturbación de giro en los otros ejes, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden para esas perturbaciones de giro. Cabe señalar que cualquier intento realista de girar un objeto exactamente a lo largo de cualquier eje principal siempre dejaría un pequeño giro residual en los otros ejes, el éter del giro inicial, o de los efectos de la resistencia al viento, etc. Este giro residual es por supuesto la perturbación. La progresión en el tiempo de este giro original será según la ecuación diferencial lineal de segundo orden aplicable.
Entonces, ¿cuáles son los resultados basados en estas ecuaciones diferenciales? Resulta que los resultados están directamente correlacionados con el signo del coeficiente final. Un coeficiente final positivo da como resultado un sistema oscilante (es decir, una vibración), mientras que un coeficiente final negativo da como resultado la suma de una disminución exponencial y un crecimiento exponencial, por lo que, por supuesto, el término de crecimiento rápidamente se hace cargo. Para el sistema oscilante, la peturbación simplemente oscila entre estar en una dirección a lo largo del eje y la otra, pero nunca excede la amplitud original, por lo que un pequeño giro residual inicial sigue siendo pequeño. Sin embargo, para el sistema de crecimiento exponencial, incluso el más mínimo giro residual inicial se vuelve grande (en ese punto, la presunción inicial de que el giro original es constante ya no se aplica, pero para entonces el “daño ya está hecho”).
Este es un gran fenómeno para que la gente lo vea por sí mismo, ya que un cuerpo que tiene una densidad constante, en forma de caja (es decir, un prisma rectangular) tiene los ejes principales a lo largo de la forma de la caja. Y prácticamente todos tienen un artículo para el hogar que se aproxima a este tipo de cuerpo: ¡un libro! – eso también se suele dimensionar de modo que los 3 pares de lados sean rectángulos, lo que hace que los valores para los momentos de intertia sean distintos y fáciles de determinar. Y todo lo que se necesita para hacer un libro en un cuerpo rígido adecuado es envolverlo en unas pocas gomas para que pueda girar sin que las páginas se muevan. El orden de los valores del momento de intertia para cualquier eje corresponde a la longitud de la diagonal de la cara en la que el eje principal es normal (es decir, perpendicular), por lo que para el libro estándar con la mayor dimensión de altura, la dimensión media de ancho y la dimensión más pequeña de grosor, el eje que tiene el mayor valor del momento de inercia es ese eje si mira la cubierta y la hace girar para que la cubierta siempre mire hacia usted, con los ejes para el eje medio y más pequeño que son esos ejes mirando en los bordes de la página a lo largo de las dimensiones alto y ancho, respectivamente. Se puede ver fácilmente que girando el libro a lo largo de estos 3 ejes, los giros para el más grande y el más pequeño son estables, mientras que el del medio es inestable, y su giro se convierte rápidamente en un desastre.
