Relatividad general: si un objeto está en movimiento inercial después de una geodésica, ¿está acelerando?

Sí, un objeto que sigue una geodésica en un espacio-tiempo curvo, en general, se acelerará, lo que significa que su velocidad cambiará (en la mayoría de los sistemas de coordenadas).

La aceleración viene dada por la ecuación geodésica :
[matemáticas] \ ddot {x} ^ {\ alpha} = – \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ alpha} \ dot {x} ^ {\ mu} \ dot {x} ^ {\ nu}. [ /matemáticas]

El lado izquierdo es la aceleración del objeto [matemáticas] \ ddot {x} ^ {\ mu} [/ matemáticas], y el lado derecho es un producto de su velocidad [matemáticas] \ punto {x} ^ {\ mu} [/ math] y la curvatura del espacio-tiempo, dada por la conexión [math] \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ alpha} [/ math].

Por ejemplo, los planetas que orbitan alrededor del sol siguen una geodésica determinada por la curvatura del espacio-tiempo debido a la masa del sol. Su movimiento implica la aceleración, ya que siguen una órbita elíptica y, por lo tanto, cambian continuamente su velocidad.

Otro ejemplo familiar es un objeto en caída libre en la Tierra, por ejemplo, una pelota caída desde cierta altura. Se está acelerando hacia el suelo porque sigue una geodésica determinada por la curvatura del espacio-tiempo debido a la masa de la Tierra.

Por supuesto, un avión no sigue una geodésica porque está aplicando una fuerza no gravitacional para mantenerlo en el aire. Esta fuerza resulta en una aceleración hacia arriba, que cancela la tendencia del avión a caer hacia el suelo a lo largo de la geodésica.

La aceleración debida a la gravedad es difícil de definir en general. Intuitivamente, para medir la aceleración debida a la gravedad, nos gustaría tener algún objeto que no interactúe con la gravedad como referencia, pero no existe tal objeto.

En otras palabras, ni siquiera puedes definir qué significa la “aceleración” de un objeto a menos que tengas otro objeto que no esté acelerando para compararlo. En un espacio-tiempo curvo, todos los objetos se mueven a lo largo de la geodésica, por lo que no puede haber ningún objeto que no esté influenciado por la gravedad con el que pueda comparar los otros objetos.

Por lo tanto, es convencional definir el movimiento geodésico debido a la gravedad (es decir, la curvatura del espacio-tiempo) como no acelerado. Solo aplicando una fuerza no gravitacional, como el empuje del jet de un avión, se puede lograr una aceleración “real”. El problema con esta definición es que no es intuitivo porque los objetos obviamente se aceleran debido a la gravedad, como expliqué anteriormente. Sin embargo, ¡lo que nos parece aceleración es simplemente caída libre!

Matemáticamente, puede definir un sistema de coordenadas en el que el objeto que sigue una geodésica nunca se acelera. En este sistema de coordenadas, es cierto que solo las fuerzas no gravitacionales pueden causar aceleración. Sin embargo, este sistema de coordenadas generalmente no es el que usted vive. Para una persona parada en la Tierra, una bola que cae definitivamente acelera debido a la gravedad.

La conclusión es que los objetos que siguen una geodésica en el espacio-tiempo curvo se aceleran en la mayoría de los sistemas de coordenadas, pero los físicos prefieren definir estos objetos como “caída libre” y no aceleración, porque es imposible definir la aceleración absoluta en la relatividad.

¿Qué pasa si tengo un acelerómetro, me preguntas? Bueno, un acelerómetro mide la aceleración adecuada , que es, por definición, la aceleración relativa a la caída libre . Por lo tanto, un acelerómetro en un objeto en caída libre, como el ISS, medirá la aceleración adecuada cero.

Depende completamente de qué sistema de coordenadas (similar pero más general que un marco de medición relativista especial) use. Si usa un sistema de coordenadas que es localmente inercial en la posición instantánea de la masa, entonces, por definición de dicho sistema de coordenadas, el objeto no está acelerando: su velocidad de coordenadas, es decir, su tasa de cambio de coordenadas de posición como Una función de coordenada de tiempo es constante.

Sin embargo, si hay alguna masa gravitante en el escenario, entonces probablemente no sea conveniente usar un sistema de coordenadas que sea localmente inercial en todas partes. Por ejemplo, y en particular, los objetos en lados opuestos de la Tierra tienden a caer en direcciones opuestas cuando se ven desde una perspectiva global, por lo que es bastante difícil unir los diversos sistemas de coordenadas locales en algo utilizable. Es mejor usar algo como las coordenadas de Schwarzschild, que se usan para describir la métrica de Schwarzschild que se aplica en todos los puntos fuera de una masa esféricamente simétrica (o en las profundidades de un agujero negro). En estas coordenadas, los objetos que no caen tienen constante r (radio) y, por lo tanto, cero aceleración radial, mientras que los objetos que caen en picada están acelerando.

En el contexto de GR, la gravedad no se considera una fuerza, por lo que está en movimiento inercial. En los objetos GR en movimiento inercial, siga las geodésicas (no las líneas rectas), por lo que no se “aceleran” como en la gravedad newtoniana. En GR, la gravedad es la curvatura del espacio-tiempo mismo, por lo que el objeto “aparece” como si estuviera acelerando.

A diferencia de la velocidad, la aceleración no es relativa: si dos cuadros se aceleran uno con respecto al otro, un observador en cualquier cuadro puede realizar experimentos locales para determinar si su cuadro está contribuyendo a la aceleración general entre ellos.

Si imaginamos a dos observadores en caída libre pero en trayectorias diferentes, en el sentido newtoniano están acelerando, pero ninguno puede detectar su propia aceleración localmente. Entonces, en ese sentido, tampoco se está acelerando.

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