Desafortunadamente, cuando las cosas se vuelven más complicadas en términos de densidad, tiendes a no poder obtener una respuesta tan agradable. Sin embargo, en general, puede escribir las ecuaciones diferenciales relevantes y luego hacer que una computadora las resuelva numéricamente con la precisión que desee.
Las densidades relevantes (dadas en unidades de la densidad crítica, [math] \ rho_c = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} [/ math]) son generalmente:
- [matemáticas] \ Omega_m [/ matemáticas], la densidad de la materia (incluida la materia oscura)
- [matemáticas] \ Omega_r [/ matemáticas], la densidad de radiación
- [matemáticas] \ Omega_ \ Lambda [/ matemáticas], la densidad de energía oscura
- [matemáticas] \ Omega_k [/ matemáticas], la “densidad de curvatura” del espacio
donde [math] \ Omega_k \ equiv 1 – (\ Omega_m + \ Omega_r + \ Omega_ \ Lambda) [/ math]. La solución descrita en los detalles de la pregunta corresponde a [math] \ Omega_m = 1 [/ math] y todo lo demás igual a cero.
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Tenga en cuenta que estos son los valores de los parámetros en [math] a = 1 [/ math] (día actual).
El parámetro de Hubble luego varía como
[matemáticas] H = H_0 \ sqrt {\ Omega_m a ^ {- 3} + \ Omega_r a ^ {- 4} + \ Omega_ \ Lambda + \ Omega_k a ^ {- 2}} [/ matemáticas]
y por supuesto
[matemáticas] H \ equiv \ frac {\ dot a} {a} [/ matemáticas]
donde [math] \ dot a [/ math] es la derivada del tiempo del factor de escala. Entonces, tenemos la ecuación diferencial
[matemáticas] \ begin {align *} \ dot a & = a H \\ \ dot a & = a H_0 \ sqrt {\ Omega_m a ^ {- 3} + \ Omega_r a ^ {- 4} + \ Omega_ \ Lambda + \ Omega_k a ^ {- 2}} \ end {align *} [/ math]
que luego se puede resolver numéricamente con la restricción de que [math] a = 1 [/ math] hoy.
Como sospechaba, todo esto proviene de las ecuaciones de Friedmann.
