Otros aquí han presentado las bases físicas en sus respuestas. Me desviaré de esto mostrando un poco de las matemáticas. Primero encontré esta teoría en la parte de mi doctorado. investigación donde adapté un aparato de prueba mecánica a pequeña escala para medir la tenacidad a la fractura utilizando mecánica de indentación. Desde entonces he usado esta teoría en mi carrera posterior como físico de confiabilidad.
Cuando se aplica una carga a una estructura que contiene una grieta de longitud a , las características de la estructura dictan cómo responde esa grieta, ya sea por crecimiento estable o fractura. Denotando la fuerza impulsora de grietas por G y la resistencia de extensión de grietas del material por R , una grieta crecerá si
(1) [matemáticas] \ displaystyle G \ geq R [/ matemáticas]
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Sin embargo, esta ecuación no dice nada sobre si el crecimiento de la grieta es estable o inestable. Para el crecimiento inestable de grietas, el requisito adicional es
(2) [matemáticas] \ displaystyle \ frac {dG} {da}> \ frac {dR} {da} [/ matemáticas]
Teniendo ahora estas dos ecuaciones a nuestra disposición, podemos demostrar la diferencia en el comportamiento de grietas para un material que es dúctil o quebradizo.
Comience primero con un material quebradizo con una grieta de longitud [math] a_0 [/ math]. Ese es el gráfico inferior en la imagen a continuación. La carga aplicada está contenida en las líneas de fuerza motriz de grietas G significadas por [math] \ sigma_1 [/ math], [math] \ sigma_2 [/ math] y [math] \ sigma_3 [/ math] con [math] \ sigma_1 <\ sigma_2 <\ sigma_3 [/ math]. La curva R del material también está esbozada.
Para las tensiones [matemáticas] \ sigma_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sigma_2 [/ matemáticas], la ecuación. (2) se cumple, porque la pendiente de las líneas de fuerza motriz es mayor que la pendiente de la curva R según lo requerido por la ecuación. (2), pero no la ecuación. (1), dado que el punto de intersección de las líneas G a la longitud de la grieta [math] a_0 [/ math] está por debajo de la curva R. Por lo tanto, la grieta puede tener la tendencia a propagarse de manera inestable, pero eso se evita desde la ecuación. (1) no aplica. Entonces la grieta no crece; se queda quieto. En algunos momentos, una cantidad infinitesimal mayor que [math] \ sigma_3 [/ math], sin embargo, ambas ecuaciones se cumplen, por lo que no solo se propaga la grieta, sino que se propaga de manera catastrófica de manera que el espécimen se fractura sin intervenir el período estable de crecimiento de la grieta . El punto de inestabilidad se denota en la figura por el punto.
Contraste eso ahora con un material dúctil que exhibe un comportamiento de curva R ascendente como se muestra en la gráfica superior. Al igual que con el gráfico inferior, [math] \ sigma_1 <\ sigma_2 <\ sigma_3 [/ math]. (Sin embargo, estas tensiones no son necesariamente de los mismos valores que los que se muestran para el gráfico inferior).
Si el estrés se incrementa a [matemáticas] \ sigma_1 [/ matemáticas], la ecuación. (1) está satisfecho pero no la ecuación. (2) Por lo tanto, la grieta crecería de longitud [matemática] a_0 [/ matemática] a [matemática] a_1 [/ matemática]. Más allá de la longitud [matemática] a_1 [/ matemática] ninguna de las ecuaciones se cumple, por lo que no se produce más crecimiento de grietas.
Si elevamos el estrés a [math] \ sigma_2 [/ math], la ecuación. (1) se satisface hasta la longitud del crack [math] a_2 [/ math], pero la ecuación. (2) no está en ninguna parte del camino. Por lo tanto, la grieta se extiende de manera estable a [math] a_2 [/ math]. Hasta ahora la estructura no se ha fracturado, porque la ecuación. (2) para la propagación de crack inestable aún no se ha cumplido.
Pero ahora mire lo que sucede cuando elevamos el estrés a un valor infinitesimal por encima de [math] \ sigma_3 [/ math], que es el punto en la figura. En este estrés ambas ecuaciones. (1) y (2) están satisfechos, y la línea G es tangente a la curva R. En consecuencia, no solo tenemos un crecimiento de crack, sino también que este crecimiento de crack es inestable. Es decir, la grieta se propaga hasta fracturarse y la estructura se rompe. Pero tenga en cuenta que antes de la fractura, la aplicación de tensiones crecientes aumentó la grieta de longitud [matemática] a_0 [/ matemática] a [matemática] a_3 [/ matemática]. Es decir, en lugar de una falla repentina e inmediata como con el material frágil, en el material dúctil existió un período de crecimiento estable de grietas que precedió a la fractura, lo que responde a la pregunta de por qué las grietas en un material dúctil son más estables que en un material frágil.
Las curvas a continuación también proporcionan información adicional sobre por qué las grietas más largas producen menores tensiones de fractura en un material. Para ilustrar el uso del gráfico de material frágil a continuación, se puede ver que con una grieta más larga [matemática] a_0 ^ \ prime [/ matemática], la fractura ocurre en [matemática] \ sigma_3 ^ \ prime [/ matemática], que corresponde a un menor estrés que [math] \ sigma_3 [/ math] en virtud de la pendiente inferior asociada con [math] \ sigma_3 ^ \ prime [/ math].
La explicación anterior es general y se ve afectada por factores tales como si la muestra está limitada por desplazamiento fijo o agarres fijos y la geometría particular de la grieta y la muestra. No obstante, describe la teoría esencial que relaciona el comportamiento del crecimiento de grietas con la tenacidad del material. El artículo que me abrió los ojos a todo esto, que recomiendo leer, es Mai y Lawn, Ann. Rev. Mater. Sci. 16 (1986) 415.
