A2A. No parece haber un consenso entre matemáticos u otros científicos sobre el platonismo matemático, ya sea que sea válido o que no lo sea. Tampoco diría que hay un consenso entre los filósofos de las matemáticas, aunque parece que, en comparación con los matemáticos, es más probable que tengan esperanzas de encontrar una buena filosofía no platónica de las matemáticas.
Los matemáticos y otros científicos que usan las matemáticas tienen una actitud hacia la filosofía de las matemáticas, algo similar a la actitud que los físicos tienen hacia las interpretaciones de la mecánica cuántica. Muchos de ellos tienen una opinión de una manera u otra, pero también para muchos de ellos las preguntas filosóficas sobre su campo parecen demasiado alboroto. En algunos casos (tal vez incluso explícitamente) el objetivo de filosofar es tener una perspectiva que justifique el status quo y luego dejarlo todo a un lado y dejar de preocuparse por ello. A este respecto, el platonismo y el formalismo tienden a usarse como formas de justificar hacer lo que uno se sentía cómodo haciendo antes.
[Mi propia opinión sobre esto es que este último punto de vista es un punto de vista demasiado defensivo. En la medida en que la filosofía toque la metodología en nuestros respectivos campos, deberíamos considerar como parte del trabajo comprometernos con la filosofía de lo que estamos haciendo lo suficiente como para mantener la metodología en buen pie y no solo acumular “resultados”. A modo de comparación, en mi trabajo como ingeniero de software, considero parte de la ética de mi trabajo no hacer software que produzca resultados engañosos. No tiene por qué ser un gran compromiso de tiempo y esfuerzo tener en cuenta cosas como esta.]
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Hay una pequeña dificultad con el término platonismo. Tiende a implicar la creencia en algún tipo de reino de objetos matemáticos que “realmente existen” en algún sentido de “real”. Parece ser común que las personas con reparos sobre el platonismo matemático se preocupen más por este sentido de “existencia”. A menudo prefiero el término “realismo matemático” que carece de la implicación de ser sobre ontología (lo que existe). Sin embargo, tenga en cuenta que, según lo veo, es una especie de error distinguir entre decir que los objetos matemáticos realmente existen y decir que cuando hacemos afirmaciones sobre qué objetos matemáticos existen, estamos usando un lenguaje significativo (en lugar de jugar un juego de lenguaje o lo que sea). Si digo que hay un número primo mayor que [matemática] 10 ^ 1000000 [/ matemática], esto no tiene ningún significado diferente que si dijera que existe un número primo y que “realmente existe”. Entonces, para mí, una de las objeciones habituales al platonismo es solo una pista falsa. Sin embargo, sería engañoso escribir como si las personas que rehuyen el platonismo matemático por esta razón no existan. Sin embargo, creo que para muchos propósitos, los realistas matemáticos que no dicen que son “platónicos” y los realistas matemáticos que sí dicen que son “platónicos” son aliados con una agenda final similar.
Una prueba de fuego para el realismo matemático es lo que una persona dice sobre la verdad o la falsedad de las conjeturas cuando no sabemos si son verdaderas. Considere la hipótesis de Riemann, por ejemplo. (Estamos bastante seguros de que es verdad). No sabemos si es verdad.
Un tipo de formalista ya objetará que no hay una sola pregunta, “¿es verdadera la hipótesis de Riemann?”, Pero un montón de ellas, a saber, “¿la hipótesis de Riemann se sigue de […]” donde completamos el espacio en blanco con diferentes sistemas de axiomas. Quizás sea cierto en algunos sistemas de axiomas pero no en otros. Todos estarían de acuerdo en que es posible en principio que no sea un teorema de PA o ZFC sino que sea un teorema de ZFC + “existe un cardenal de Woodin”, pero muchos de nosotros diríamos que eso no es pertinente a la verdad de Hipótesis de Riemann, solo demostrabilidad, que no es lo mismo. Este tipo de formalista no es realista, porque discuten si la pregunta en sí misma tiene un significado único y bien definido.
En el caso de la hipótesis de Riemann, ayuda a la causa realista de que la hipótesis de Riemann es equivalente a que sea imposible de refutar por ciertos medios específicos. La hipótesis de Riemann dice que no hay raíces de [matemáticas] \ zeta (s) = 0 [/ matemáticas] en parte del plano complejo. Si hay una raíz allí, en principio se puede mostrar haciendo un cálculo que muestra que hay una raíz allí. La idea de si es verdad es una pregunta muy diferente a si es demostrable parece una mala idea. Hay varias otras conjeturas que son de la misma manera. Si hay un número perfecto impar, entonces, en principio, hay una prueba de que hay uno (al exhibirlo), y si uno prueba que hay uno usando este método en particular, entonces realmente hay uno. El formalista astuto es consciente de este problema y evita la trampa, pero no todos los que defienden el formalismo lo han pensado hasta ahora.
Soy una especie de semi-realista en el sentido de que considero que muchas preguntas matemáticas están lo suficientemente bien definidas sin tener en cuenta la elección del sistema de axiomas. Si hay una respuesta a “¿es verdadera la hipótesis de Riemann?”, Entonces es la misma respuesta para todos; No hay dos respuestas igualmente válidas. Sin embargo, hay una segunda pregunta en la que me separo de muchos matemáticos, que es si tiene sentido decir que la respuesta a la pregunta ya existe. El realista cree que sí. El hecho de que aún no sepamos la respuesta no significa que la respuesta no esté decidida en algún sentido. Creo que la interpretación constructivista de este tipo de afirmación tiene al menos tanto sentido. Un constructivista acepta que la pregunta tiene una respuesta una vez que tenemos un procedimiento que (en principio) proporcionaría la respuesta. Parte de mi dificultad con el realismo matemático es que parece que uno se siente incómodo al ver las cosas de esta manera, incluso si es una forma igualmente coherente de interpretar la pregunta. Uno tiene la sensación (como lo he hecho en el pasado) de que la respuesta a la pregunta realmente ya existe , incluso si uno tiene problemas para asignar un significado tangible a esta afirmación. Me gusta pensar que mi punto de vista tiene los beneficios del realismo sin los inconvenientes, pero para un realista, mi punto de vista, naturalmente, parece un poco extraño.
No tengo datos de encuestas que respalden esto, pero mi sentido de hablar con matemáticos en varias ocasiones y leer lo que tienen que decir sobre las matemáticas es que el realismo matemático es fundamentalmente muy popular entre los matemáticos que trabajan. Debido a las razones que acabo de exponer, también creo que no llega a un consenso a favor del realismo matemático (vamos al platonismo matemático). Mi impresión es que los científicos en general tienen menos probabilidades de ser realistas matemáticos que los matemáticos, pero tengo aún menos datos sobre esto. Los filósofos están obligados profesionalmente a cuestionar la justificación de estas intuiciones y, por lo tanto, es más probable que estén investigando alternativas al realismo. Sin embargo, no están cerca de tener un consenso contra el platonismo, por lo que puedo ver.
Hay un sentido en el que la metodología “habitual” de la ciencia es formalista sobre las matemáticas. Es decir, si imaginamos que de alguna manera ha elaborado una teoría para explicar un fenómeno natural, pero solo funciona si uno usa un conjunto diferente de axiomas para las matemáticas, en principio deberíamos darle a su teoría la oportunidad de tener éxito en base a la simplicidad, el poder explicativo , y tal, y no descartarlo simplemente por usar matemáticas “extrañas”.
Algunas cosas tienden a hacer que esto sea irrelevante. Uno, la ciencia tiende a no tener este tipo de influencia sobre sus matemáticas subyacentes. Si haces una teoría basada en matemáticas “extrañas”, probablemente pueda reinterpretarla usando matemáticas estándar. El hecho de que pueda “necesitar” cambiar los axiomas para que su teoría funcione bien parece ser principalmente un caso hipotético. Dos, una vez que las personas encuentran axiomas intuitivamente plausibles, no son propensos a abandonarlos simplemente porque las ciencias naturales no los necesitan. Se ha sugerido que deberíamos elegir nuestros axiomas utilizando los mismos criterios que en la filosofía general de la ciencia (¿se supone que es necesario explicar algo que podamos observar?), Pero esta idea no ha tenido éxito. Por lo que puedo decir, incluso no ha tenido éxito entre los matemáticos que creen en el formalismo.
Las personas están acostumbradas, por ejemplo, a usar el axioma de elección. El formalismo implica que el tipo de pensamiento que lleva a las personas a encontrarlo “plausible” es solo una especie de escaparatismo psicológico. Diría que mirar la psicología de esa manera es subestimar su poder. Cuando uno está inmerso en la forma en que normalmente se hacen las matemáticas ahora, usar el axioma de elección parece tan completamente natural que uno tiene que trabajar un poco para comprender por qué alguien querría no usarlo cuando se presenta la oportunidad.
Este es un respeto en el que una especie de “realismo” inconsciente ejerce una gran influencia en cómo se hacen las matemáticas. Incluso las personas que no creen que el realismo matemático sea correcto (y con certeza no piensan que la “función de elección” reclamada por el axioma de elección tiene una existencia real, platónica) tendrán la sensación de que asumir el axioma de elección es de alguna manera El camino natural a seguir. Tener una forma de hacer física (y todo lo demás) sin usar el axioma de elección simplemente no parece ser una razón suficiente para desarrollar las matemáticas de otra manera, sin usar el axioma.
Entonces, diría que una persona que espera que alguna alternativa al realismo (con sus connotaciones platónicas) se convierta en la filosofía predominante de las matemáticas entre los matemáticos que trabajan tiene que subir una colina realmente empinada. Hay muchas personas que parecen ser realistas. Incluso los matemáticos que defienden el formalismo parecen seguir trabajando a menudo como si pensaran que los axiomas habituales son la verdad de Dios sobre el universo de la teoría de conjuntos (aunque no siempre). Los matemáticos que favorecen una filosofía de las matemáticas como el constructivismo que sugiere el uso de diferentes axiomas tienen sus propias grandes dificultades para convencer a las personas de que lo intenten durante el tiempo suficiente para tener una buena base para comparar los dos. No estoy seguro de lo que se necesitaría para superar esta inercia. La razón por la que el realismo o el platonismo no es un consenso es que es difícil argumentar persuasivamente a favor de él. La filosofía de las matemáticas parece en general muy difícil. Hacer un cambio serio en la forma en que los matemáticos ven su propia materia y mucho menos en cómo hacen su trabajo sería casi un milagro.
