¿Cuál es el significado más profundo detrás del principio de menor acción?

Aquí hay una gama bastante diversa de respuestas, pero aventuraré otra.

¡No hay un significado más profundo!

En resumen, el principio de menor acción es solo una consecuencia matemática derivada de la minimización generalizada de la ruta utilizando el cálculo de variaciones.

Como principio utilizado en física; generalmente es aplicable porque las soluciones dinámicas en física son a menudo únicas. Por ejemplo, el camino o la trayectoria que toma una partícula bajo la gravedad se define de manera única. Si existe una trayectoria o trayectoria, se puede utilizar el principio de menor acción. Eso es porque la derivación matemática comienza desde un camino único. Es la correspondencia entre una solución única y un camino único que une el aparato matemático con la física.

El uso del principio de menor acción en física implica encontrar un lagrangiano. El lagrangiano es solo el funcional que satisface el principio de menor acción. Esa es la definición del lagrangiano y la razón principal por la que encontrar un lagrangiano es tan importante en física (también hay otras razones).

Cuando originalmente tomé el curso de segundo año de mecánica clásica, estaba bastante confundido acerca de lo que era un lagrangiano. El profesor lo presentó como un hecho sin ninguna ayuda para la comprensión. Así que simplemente me senté en el curso, hice el examen y luego lo dejé a un lado, dejando que una de las herramientas más poderosas de la física se pudriera en un oscuro recoveco de mi cerebro, sin tratar de aclarar los conceptos subyacentes. Recuerdo que me preguntaba por qué el lagrangiano debería ser dado por [math] L = TV [/ math]. Ahora me doy cuenta de que ese es el lagrangiano que satisface la ecuación de movimiento de Newton. Es el concepto de lagrangiana lo que es más importante, no la forma particular.

El lagrangiano es el funcional que satisface el principio de menor acción.

Vamos a deducirlo para que esta correspondencia se vuelva más clara.

La derivación a continuación es puramente matemática, sin ninguna consideración de ningún sistema físico o leyes físicas. Solo al final de la derivación hago un cambio entre las matemáticas y la física simplemente observando una correspondencia y cambiando la notación.

¿Qué información necesitamos para definir un camino?

Si tenemos el valor, [matemática] y [/ matemática] en algún punto [matemática] x [/ matemática], no hay suficiente información para decirnos cómo pasar al siguiente punto, en [matemática] x + \ Delta x [/matemáticas]. Sin embargo, si tenemos la primera derivada, [math] y ‘[/ math], entonces podemos pasar al siguiente punto. Por lo tanto, se puede construir una ruta con un valor inicial y una dirección hacia el siguiente valor a medida que variamos algún parámetro, [math] x [/ math].

Considere algunas funciones [matemáticas] F (y (x), y ‘(x), x) [/ matemáticas] que describen una ruta, donde [matemáticas] y (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] y’ (x ) [/ math] son ​​números parametrizados por el valor de [math] x [/ math] que tienen información suficiente para determinar el siguiente paso. A medida que aumentamos el parámetro [math] x [/ math], nos movemos a lo largo del camino.

Es simple escribir la ruta integral usando el funcional en este formulario. Consideremos entonces la integral de la ruta entre dos valores [matemática] x = a, b [/ matemática].

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_a ^ b F (y (x), y ‘(x), x) \, dx [/ math]

Ahora considere una ruta alternativa que comienza y termina en los mismos puntos [matemática] x = a, b [/ matemática]. Podemos definir la nueva ruta cambiando el valor, [math] y (x) [/ math] de la ruta y su derivada en cada punto de acuerdo con,

[matemáticas] Y (x) = y (x) + \ epsilon \ eta (x) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ eta (a) = \ eta (b) = 0 [/ matemáticas].

Este nuevo camino comienza y termina en los mismos puntos, pero difiere arbitrariamente entre los dos puntos finales. Cualquier camino alternativo se puede construir de esta manera. [math] \ epsilon [/ math] es el parámetro variacional tal que como [math] \ epsilon \ a 0 [/ math] recuperamos la ruta original.

La integral a lo largo de estos otros caminos viene dada por

[matemáticas] I_Y = \ displaystyle \ int_a ^ b F (Y (x), Y ‘(x), x) \, dx [/ math]

Ahora tenemos toda una serie de integrales correspondientes a diferentes caminos. ¿Cómo elegimos nuestro camino especial, de todos los otros caminos? Podemos buscar una propiedad de nuestro camino especial que la identifique de manera única entre todos los demás. Una de esas propiedades es que la integral correspondiente a nuestro camino deseado es, en cierto sentido, única. Esto puede satisfacerse si la ruta integral es un mínimo.

Puede ser útil agregar en este punto que la longitud mínima del camino generalmente está bien definida, mientras que otras soluciones extremas generalmente no están bien definidas. Por ejemplo, generalmente no es posible encontrar una longitud de ruta máxima porque se puede construir fácilmente una ruta más larga. Por lo tanto, el término “minimización de ruta” se usa generalmente.

Si requerimos que la ruta mínima sea [math] I [/ math], entonces podemos tomar la derivada de la integral con respecto a [math] \ epsilon [/ math] (evaluada en el límite de [math] \ epsilon = 0 [/ math]) y lo siguiente es cierto,

[matemáticas] \ left. \ dfrac {d I_Y} {d \ epsilon} \ right | _ {\ epsilon = 0} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ izquierda. \ displaystyle \ int_a ^ b \ dfrac {d} {d \ epsilon} F (Y (x), Y ‘(x), x) \ right | _ {\ epsilon = 0} \, dx = 0 [/ matemáticas]

Podemos evaluar las derivadas con respecto a [math] \ epsilon [/ math] en la integral usando la regla de la cadena de la siguiente manera,

[matemáticas] \ dfrac {dF} {d \ epsilon} = \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y} \ dfrac {\ partial Y} {\ partial \ epsilon} + \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ dfrac {\ partial Y’} {\ partial \ epsilon}. [/ Math]

Tenemos,

[matemáticas] \ dfrac {\ partial Y} {\ partial \ epsilon} = \ eta (x) [/ math]

[matemática] \ dfrac {\ parcial Y ‘} {\ parcial \ epsilon} = \ eta’ (x) [/ matemática]

Así obtenemos la integral,

[matemáticas] \ left. \ displaystyle \ int_a ^ b \ left (\ dfrac {\ partial F} {\ partial Y} \ eta + \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta’ \ right) \ right | _ {\ epsilon = 0} \, dx = 0 [/ math]

Luego usamos sustituto para el segundo término,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta’ \, dx = \ left. \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta \ right | _a ^ b – \ displaystyle \ int_a ^ b \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ eta \, dx [/ math]

Observamos que según nuestra definición inicial de [math] \ eta [/ math], que,

[matemáticas] \ izquierda. \ dfrac {\ parcial F} {\ parcial Y ‘} \ eta \ derecha | _a ^ b = 0 [/ matemática]

dejando la siguiente integral,

[matemáticas] \ left. \ dfrac {d I_Y} {d \ epsilon} \ right | _ {\ epsilon = 0} = \ left. \ displaystyle \ int_a ^ b \ left (\ dfrac {\ partial F} {\ partial Y} – \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ dfrac {\ partial F} {\ partial Y ‘} \ right) \ right | _ {\ epsilon = 0} \ eta \, dx [/ math]

En general, la integral va a cero para cualquier función, [matemática] F [/ matemática] en [matemática] \ epsilon = 0 [/ matemática] satisfactoria,

[matemáticas] \ dfrac {\ partial F} {\ partial y} – \ dfrac {d} {dx} \ dfrac {\ partial F} {\ partial y ‘} = 0 [/ math]

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange.

La función funcional que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange se llama lagrangiana.

La derivación anterior fue completamente una técnica matemática para encontrar la solución de ruta mínima, entre todas las otras rutas alternativas.

La definición matemática de una ruta corresponde muy naturalmente a los sistemas físicos donde la posición y la velocidad están parametrizadas por el tiempo .

Así definimos la acción , [matemática] S [/ matemática], como,

[matemáticas] S = \ displaystyle \ int_a ^ b L \, dt [/ matemáticas]

que debe ser un mínimo de acuerdo con las propiedades de los lagrangianos.

Sabemos que la acción debe ser mínima porque hemos derivado las condiciones para que esto sea así. Así podemos ver que el lagrangiano es solo el funcional que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange. Cuando mapeamos esta construcción matemática en sistemas físicos, encontramos que podemos recuperar todas las leyes físicas apropiadas.

El principio de la menor acción simplemente proporciona un método poderoso y más general para resolver problemas en física. Sin embargo, sus raíces están puramente en lógica matemática. Puede ver en la derivación que la totalidad se acaba de derivar utilizando una definición matemática de una ruta. Utilizamos la minimización para seleccionar una ruta especial, entre muchas otras rutas. Descubrimos que la forma del camino funcional debe satisfacer las ecuaciones de Euler-Lagrange para que tenga la longitud mínima del camino. Solo al final identificamos el parámetro con el tiempo y llamamos a la longitud mínima de la ruta, la acción . La razón por la que podemos usar el formalismo matemático con la física es que podemos mapear la dinámica física en el concepto matemático de un camino .

En esencia, el principio de menor acción es una herramienta matemática que los físicos han encontrado muy útil.

La razón por la cual funciona el Principio de la menor acción se debe al cálculo de las variaciones .

Se puede encontrar una muy buena derivación y explicación en el capítulo 1 del fantástico libro Mathematics for Physics , que está disponible gratuitamente aquí:
http://www.goldbart.gatech.edu/P …

Sin embargo, para comprender el POLA correctamente, necesitará un fondo decente en cálculo.

La idea básica es que tienes un objeto, llamado acción funcional . Generalmente se escribe como una integral sobre una densidad de Lagrange . Depende de una serie de parámetros que describen su sistema físico, y cuando establece los parámetros para que pongan fin a la acción (de una manera particular dictada por el cálculo de variaciones), se supone que esos parámetros corresponden a lo que sucedería en realidad . El lagrangiano que pide tu libro de texto, “potencial – energía cinética”, no es el único que puedes usar, pero en la mayoría de los casos encontrarás que será el correcto.

Pero esa no es la “razón” por la que funciona, que es lo que está pidiendo. La “razón” es que el POLA es equivalente a las leyes de Newton. Es decir, uno puede derivarse del otro. Ninguno de los dos es más fundamental que el otro. ¿Y por qué funcionan las leyes de Newton? Bueno, porque caen en el límite de baja velocidad / baja masa de la relatividad general. ¿Y por qué funciona la relatividad general? Porque el experimento nos dice que esa es la forma en que funciona la naturaleza (y puedes seguir preguntando “¿por qué?” Hasta el infinito, me temo. Puedes seguir hasta que te vuelvas muy profundo (incluso la teoría de cuerdas) pero nunca llegarás a un respuesta fundamental final)

En la mecánica cuántica, el principio de menor acción tiene una explicación maravillosa, presentada por Feynman. La esencia de su argumento se basa en su camino de formulación integral de la mecánica cuántica. Todo se reduce a esto: para calcular la probabilidad de que algo suceda, debe considerar todas las rutas posibles entre los estados inicial y final, calcular una amplitud compleja del proceso que ocurre en esa ruta, sumar esas amplitudes y calcular el módulo cuadrado Y esta es tu probabilidad. Es importante que la fase de la amplitud para cada ruta posible dependa de la acción a lo largo de esta ruta.

Si ahora elige, de todos esos caminos posibles, dos cerca uno del otro y observa sus contribuciones a la amplitud total, notará que, por lo general, las amplitudes tendrán fases muy diferentes y, a menudo, interferirán destructivamente. Sin embargo, si elige una ruta correspondiente a un mínimo local (o máximo, o incluso un punto de silla) de la acción, entonces todas las rutas cercanas tienen fases muy cercanas de la amplitud e interfieren de manera constructiva. Por lo tanto, la mayor parte de la contribución a la amplitud total para un proceso proviene de rutas correspondientes a los extremos de la acción: efectivamente, puede bloquear todas las demás rutas posibles y la amplitud total no cambiará significativamente. Si ahora va al límite clásico, obtendrá el camino clásico de una partícula que corresponde a un extremo (generalmente mínimo) de acción clásica.

La intuición detrás del Principio de la menor acción es que en un sistema, la energía tiende a extenderse / disipar las horas extras fuera del sistema. Esto significa que un sistema consumirá la menor cantidad de energía posible para que se pueda distribuir más energía al medio ambiente.

Corrección:

si define la energía total como igual a la energía cinética y la energía potencial, y trata de minimizar la energía total eligiendo un camino agradable, llegará a las mismas ecuaciones diferenciales parciales cuando minimice la Acción. Por lo tanto, esto muestra que el Principio de la menor acción es lo mismo que encontrar un camino que minimice la energía dado un tiempo fijo.

Ilustraré esta intuición con 3 ejemplos, comenzando con la energía potencial, luego con la energía cinética y finalmente con la relación de ecuación con L = K – P (Lagrangiana = Energía cinética – Enegia potencial).

Energía potencial:

Digamos que cuelgas una cuerda suelta en ambos extremos y la dejas colgar por el peso de la gravedad. Una vez que deje de moverse, formará la forma de Catenaria. Puedes encontrar las matemáticas aquí Catenaria – Wikipedia.

La razón intuitiva por la que forma la Catenaria es porque, en esa forma, la cantidad máxima de energía potencial se ha perdido para el medio ambiente. En otras palabras, la forma Catenaria disipa más eficientemente la energía potencial de la cuerda desde su posición inicial. Cuando la cuerda alcanza la forma de Catenaria, ya no hay más energía potencial para extraerse y, por lo tanto, la cuerda deja de cambiar de forma. Por lo tanto, las matemáticas se centran en minimizar la energía potencial.

A partir de aquí, se puede observar que un sistema formará una forma / estructura que disipará su energía hasta que no se pueda disipar más. Entonces el sistema estará en equilibrio.

Energía cinética:

Considere un experimento mental de una partícula que se mueve sobre una superficie plana sin fricción que comienza en x1, y1 y termina en x2, y2 dentro de un marco de tiempo fijo de t. Digamos que la partícula comienza con la velocidad inicial v. Ahora hacemos la pregunta: ¿por qué la partícula elige la línea recta como la forma de viajar entre los dos puntos?

Si el tiempo es constante, la única diferencia entre los diferentes caminos posibles es la energía. Y dado que la energía quiere disiparse eficientemente, este sistema intentará usar la menor cantidad de energía posible. Por lo tanto, la partícula intentará viajar en línea recta entre dos puntos porque una línea recta no necesita energía adicional y solo requiere mantener la velocidad inicial v. Cualquier cambio en v o dirección requerirá un trabajo externo para aumentar la velocidad y reducir la velocidad para llegar en el punto final en el mismo tiempo fijo.

L = K – P (Lagragrian = Energía cinética – Enegy potencial

Cuando se usa el Principio de la menor acción, generalmente el tiempo se establece como constante para los diferentes caminos posibles recorridos por la partícula. Entonces es el caso de minimizar la energía entre dos puntos. El problema radica en por qué minimizar la Acción en lugar de K + P? La respuesta corta es cuando minimizamos la Acción, es equivalente a minimizar la energía. Por lo tanto, solo estamos encontrando el camino que consume la mínima cantidad de energía.

La siguiente es la derivación matemática.

Deje que la energía dependa de la velocidad, v y la posición x en cualquier momento

E (v, x) = K (v) + P (x)

donde K es energía cinética que depende de la velocidad y P es energía potencial que depende de la posición x. Tenga en cuenta que la ruta es la variable de posición x aquí. Queremos minimizar E con respecto a la ruta x.

[matemáticas] \ frac {dE (v, x)} {dx} = \ frac {\ partial K} {\ partial v} \ frac {dv} {dx} + \ frac {\ partial P} {\ partial x} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ partial K} {\ partial v} \ frac {dv} {dx} = – \ frac {\ partial P} {\ partial x} [/ math]

Dado que [math] K = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ math] para cualquier partícula que se mueve y

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = v [/ matemáticas]

[matemáticas] vdt = dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ partial K} {\ partial v} \ frac {dv} {dx} = mv \ frac {dv} {dx} = mv \ frac {1} {v} \ frac {dv} {dt } = m \ frac {dv} {dt} [/ math]

lo que significa

[matemáticas] \ frac {\ partial K} {\ partial v} \ frac {dv} {dx} = m \ frac {dv} {dt} = – \ frac {\ partial P} {\ partial x} [/ math ]

Ahora considere los cálculos habituales para el Principio de la menor acción :

que el lagrangriano sea [matemáticas] L = K (v) – P (x) [/ matemáticas]

Al resolver la acción estacionaria for, tenemos que resolver el diferencial parcial

[matemáticas] \ frac {\ partial L} {dx} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial v} = 0 [/ math]

ya que

[matemáticas] \ frac {\ partial L} {dx} = – \ frac {\ partial P} {\ partial x} [/ math]

[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial v} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial K} {\ partial v} = \ frac {d} {dt} mv = m \ frac {dv} {dt} [/ math]

Podemos ver que la ecuación diferencial parcial del Principio de la menor acción es en realidad:

[matemáticas] \ frac {\ partial L} {dx} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial v} = – \ frac {\ partial P} {\ partial x} – m \ frac {dv} {dt} [/ math]

o

[matemáticas] – \ frac {\ partial P} {\ partial x} = m \ frac {dv} {dt} [/ math]

Lo cual es similar a minimizar la energía.
Por lo tanto, el Principio de Menos Acción es en realidad equivalente a encontrar el camino que consume menos energía porque las ecuaciones diferenciales parciales eventuales son las mismas.

Todo en la naturaleza sigue el camino de menor acción. Un fotón, considerado clásico, sigue el principio de Fermat. Siempre recorre el camino de menor acción. Cuando se refleja con una superficie lisa, verá un fotón que iguala el ángulo de incidencia con el ángulo de reflexión. Esta es la ruta de acción mínima de un fotón y solo recorre una ruta única.

El concepto básico de minimizar la acción radica en la conservación de la energía. Cuando decimos que un cuerpo recorre el camino de menor acción, en realidad estamos tratando de enfocarnos en la conservación de la energía total. En cada punto cuando se sigue el camino, verá que en cada punto se conserva la energía total o hamiltoniana.

Por lo tanto, llegamos a Lagrangian. Usando la ecuación de Euler, podemos encontrar el camino seguido por el cuerpo (extremo) y luego representarlo con una acción que será mínima.

Acción o extremo o estacionario es siempre un valor mínimo.

Simetría.

Ver: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/… .