¿Qué es [matemáticas] 0 ^ i [/ matemáticas]?

No existe tal cosa como [matemática] 0 ^ i [/ matemática] abarcada por una definición coherente de poderes complejos. Para cualquier racional [matemática] p [/ matemática] es razonable definir [matemática] 0 ^ p = 0 [/ matemática]. Esto está relacionado con el hecho de que para una [matemática] z [/ matemática] fija, [matemática] z ^ p [/ matemática] tiene muchos valores, y se confirma en el hecho de que la superficie de Riemann para [matemática] z ^ p [/ math] incluye un punto etiquetado [math] 0 [/ math].

Sin embargo, una potencia con exponente no real tiene infinitos valores. Esto surge de poderes arbitrarios que se definen adecuadamente a través del logaritmo. La superficie de Riemann para el registro, una cosa encantadora que a menudo se ve como una hélice y biholomórfica con el plano complejo, no admite la incorporación suave de un punto etiquetado [math] 0 [/ math]. Esta omisión es intrínseca al logaritmo y, por lo tanto, excluye cualquier valor significativo de [math] 0 ^ i [/ math].

Una fórmula para la red a veces infinita de valores de [math] z ^ p [/ math] es

[matemáticas] z ^ p = \ exp (p \ cdot (\ ln | z | + i \ arg z + i 2 \ pi k)) \ quad [/ matemáticas] ([matemáticas] k \ en Z [/ matemáticas] )

En particular

[matemáticas] z ^ i = \ exp (i \ cdot \ ln | z |) e ^ {- \ arg z – 2 \ pi k} \ quad [/ matemáticas] ([matemáticas] k \ en Z [/ matemáticas] )

No es difícil ver que con [math] z [/ math] en un disco arbitrariamente pequeño sobre [math] 0 [/ math], se puede obtener cualquier valor complejo que no sea [math] 0 [/ math] como un valor de [math] z ^ i [/ math]. Por lo tanto, no hay esperanza de suavidad o regularidad al asignar un valor a [math] 0 ^ i [/ math].

Este valor [matemática] 0 ^ i [/ matemática] generalmente se deja sin definir. Pero si definirlo debería ser aparentemente el más naturalmente asignado al valor 1.

La función exponencial [math] a ^ z [/ math] tiene el período [math] i \ left | \ frac {2 \ pi} {\ log (a)} \ right | [/ math]. Cuando [math] a [/ math] llega a [math] 0 [/ math], el período también llega a [math] 0 [/ math]. Esto significa que el valor en [math] i [/ math] debe ser el mismo que en [math] 0 [/ math]. En otras palabras, [matemática] 0 ^ {ix} = 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] para cualquier [matemática] x [/ matemática] real.

En la aritmética ordinaria, la expresión no tiene significado, ya que no hay un número que, multiplicado por 0 , dé un (suponiendo un ≠ 0 ), por lo que la división por cero no está definida. Como cualquier número multiplicado por cero es cero , la expresión 0/0 tampoco tiene un valor definido; cuando es la forma de un límite, es una forma indeterminada.

Depende de qué campo se trate realmente. Una simple cuestión de definición. Como el sistema complejo es una extensión del sistema real; dentro de cero significará la cantidad 0 + 0i.

El signo de adición es, por supuesto, puramente arbitrario, particularmente en este caso. Si lo piensas, literalmente, cero caerá en muchas categorías como una (es decir, 1 NO es y, a veces, ES primo).

Un número imaginario es básicamente de la forma ki, donde i es la unidad imaginaria V-1 yk es una cantidad real, cero inclusive. La propiedad de grado alterno de i lo hace así de simple, por supuesto.

¡El cero en sí mismo puede ser 0 = 0i, pero eso no importará ya que bajo ninguna circunstancia se permite la división por cero (estrictamente, incluso en la teoría extendida de límites)!

Referencia: ¿Es 0 un número imaginario?

o al poder no está definido. Si se definiera, entonces solo habría sido 0 (como Alan Bustany ecp; ains), es decir 0 ^ i = 0, pero luego (0 ^ i) ^ i = 0 ^ i = 0, por otro lado hand (0 ^ i) ^ i = 0 ^ (i ^ 2) = 0 ^ (- 1) que no está definido.

A2A: estoy de acuerdo con Reuven Harmelin: indefinido ; porque permitir [matemática] 0 ^ i = 0 [/ matemática] puede conducir a derivaciones falsas, como indica Reuven.

La respuesta es 0. No hay razón para que sea otra cosa.