¿Qué es la teoría de los anillos y la teoría de grupos en matemáticas?

Para una definición de la teoría del anillo:

En el álgebra abstracta, la teoría de los anillos es el estudio de los anillos: estructuras algebraicas en las que se definen la suma y la multiplicación y tienen propiedades similares a las operaciones definidas para los enteros. La teoría de los anillos estudia la estructura de los anillos, sus representaciones o, en diferentes idiomas, módulos, clases especiales de anillos (anillos de grupo, anillos de división, álgebras de envoltura universal), así como una serie de propiedades que resultaron ser interesantes tanto para la teoría misma y para sus aplicaciones, como las propiedades homológicas y las identidades polinómicas.

Y una definición de teoría de grupos:

En matemáticas y álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. El concepto de grupo es fundamental para el álgebra abstracta: otras estructuras algebraicas bien conocidas, como anillos, campos y espacios vectoriales, pueden verse como grupos dotados de operaciones y axiomas adicionales. Los grupos se repiten a lo largo de las matemáticas, y los métodos de la teoría de grupos han influido en muchas partes del álgebra. Los grupos algebraicos lineales y los grupos de Lie son dos ramas de la teoría de grupos que han experimentado avances y se han convertido en áreas temáticas por derecho propio.

La teoría de grupos y la teoría de los anillos se estudian en relación con el álgebra abstracta.

Un buen libro introductorio / libro de texto sobre álgebra abstracta, con notas del curso y muchos problemas resueltos y ejercicios con respuestas, es el siguiente:

Esquema de álgebra abstracta de Schaum (Esquemas de Schaum): Lloyd Jaisingh, Frank Ayres: 9780071403276: Amazon.com: Libros

Otro libro introductorio / libro de texto sobre teoría de grupos de la serie Schaum:

Teoría de Schaum y problemas de la teoría de grupo: Benjamin Baumslag y Bruce Chandler: Descarga y transmisión gratuitas: Archivo de Internet

Y a continuación hay un enlace a un libro de texto educativo gratuito en línea sobre álgebra abstracta:

Teoría y aplicaciones (un libro de texto gratuito)

Después de estudiar y aprender de los libros de texto anteriores, uno puede estudiar y consultar libros más avanzados como:

Introducción a la teoría de los anillos (Springer Undergraduate Mathematics Series): Paul M. Cohn: 9781852332068: Amazon.com: Libros

The Theory of Rings (Encuestas y monografías matemáticas): Nathan Jacobson: 9780821815021: Amazon.com: Libros (Un libro importante en la historia del desarrollo de la teoría de los anillos).

Un Curso de Teoría de Grupos (Textos de Posgrado en Matemáticas, Vol. 80): Derek Robinson: 9780387944616: Amazon.com: Libros

Una Introducción a la Teoría de Grupos (Textos de Posgrado en Matemáticas): Joseph Rotman: 9780387942858: Amazon.com: Libros

Te sugiero que sigas los siguientes pasos:

1) Comience con el libro de Herstein. Un volumen delgado y no muy completo, pero puede llegar al meollo de la cuestión bastante rápido. Creo que es una muy buena selección de problemas.

2) Una vez que haya abierto el apetito, continúe y estudie Dummit & Foote (D&F). Es muy completo y exhaustivo. Comienza desde lo básico. Una amplia gama de problemas, desde triviales hasta difíciles.

3) Después de esto, puedes probar el libro de Artin. Esto también es exhaustivo pero muy conciso. Los problemas son de moderados a difíciles. Esto proporcionará una visión adicional y un enfoque diferente.

Tenga en cuenta que estos libros incluyen no solo la teoría de grupos y anillos, sino también temas adicionales como la teoría de campo, módulos, álgebra lineal, teoría de Galois, etc.

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