Existe una analogía entre el potencial escalar eléctrico y el potencial del vector magnético, que generalmente no se enseña explícitamente a los estudiantes de pregrado. Creo que si comprende esta analogía, el potencial del vector magnético parecerá tan natural e intuitivo como el potencial escalar eléctrico.
El significado físico del potencial escalar eléctrico generalmente se considera energía potencial por unidad de carga. El significado físico del potencial del vector magnético es en realidad muy similar: es la energía potencial por unidad de elemento de corriente. Por “elemento de corriente” se entiende una cantidad con las unidades de longitud de tiempos actuales; es la corriente a través de un cable multiplicado por la longitud del cable, con la dirección de la corriente convencional. En consecuencia, las unidades del potencial del vector magnético son julios por amperímetro en SI.
Si tenemos algún sistema de cargas estacionarias y corrientes constantes que fluyen a través de cables estacionarios, podemos preguntar: ¿cuál es la energía potencial electromagnética total de este sistema? (Ignoramos la energía cinética de los electrones que fluyen a través de los cables).
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La energía potencial eléctrica es conocida: está dada por la fórmula
[matemáticas] U_e = \ frac {1} {2} \ int \ rho \ phi \, \ mathrm {d} V [/ math]
Esta fórmula justifica la idea de que el potencial escalar eléctrico es energía por unidad de carga. [1] [math] \ rho \, \ mathrm {d} V [/ math] es un elemento de carga infinitesimal, multiplicándolo por [math] \ phi [/ math] da la energía, y sumamos todas las cargas en el sistema.
También muestra que la energía requerida para ensamblar una distribución de carga no depende de cómo llegaron las cargas allí (siempre que no haya fricción). Sabemos que esto debe ser cierto porque la energía se conserva, pero esta fórmula lo demuestra explícitamente.
También hay energía potencial magnética. Se necesita energía para encender una corriente en un cable debido a la autoinductancia del cable: aumentar la corriente induce una fem de retorno y hay que bombear energía al sistema para superarla. También se necesita energía para reposicionar dos cables que transportan corriente uno con respecto al otro a medida que ejercen fuerzas magnéticas entre sí.
Nos gustaría tener una fórmula para la energía potencial magnética similar a la fórmula para [math] U_e [/ math] anterior. No debería depender de cómo llegaron las corrientes allí; solo debe depender de la configuración final.
Tenga en cuenta que la energía potencial magnética en la configuración final depende necesariamente no solo de la cantidad de corriente sino también de la dirección en la que fluye. Por ejemplo, si tomamos dos bucles circulares de alambre del mismo tamaño y los orientamos para que sean paralelos y coaxial, así:
[fuente]
Sabemos que hay una fuerza magnética atractiva entre ellos, por lo que si introdujimos el bucle superior (por ejemplo) desde el infinito espacial, al acercarse al bucle inferior, perdería energía potencial. Por otro lado, si el bucle superior tuviera corriente circulando en la dirección opuesta, la fuerza sería repulsiva y la energía potencial aumentaría a medida que llegara desde el infinito espacial. Entonces las dos configuraciones, diferenciadas solo por las direcciones actuales, tendrían energías diferentes.
Ahora si tenemos un elemento infinitesimal de corriente, que podemos escribir como [math] I \, \ mathrm {d} \ mathbf {l} [/ math] o [math] \ mathbf {J} \, \ mathrm {d } V [/ math], es electrodinámicamente equivalente a la superposición de tres elementos alineados a los ejes:
[math] \ mathbf {J} \, \ mathrm {d} V = J_x \ hat {\ mathbf {x}} \, \ mathrm {d} V + J_y \ hat {\ mathbf {y}} \, \ mathrm {d} V + J_z \ hat {\ mathbf {z}} \, \ mathrm {d} V [/ math]
Y la cantidad de energía que se necesita para traer un elemento de corriente alineado al eje desde el infinito puede variar según la dirección, por lo que en cada punto, en lugar de una sola constante como el potencial escalar eléctrico, necesitamos tres constantes, una por dirección, por lo que ese
[math] \ mathrm {d} U_m = a J_x \, \ mathrm {d} V + b J_y \, \ mathrm {d} V + c J_z \, \ mathrm {d} V [/ math]
Podemos combinar las tres constantes en un vector y expresar este resultado usando el producto punto. Dado que este vector es el análogo magnético del potencial escalar eléctrico (le indica la energía potencial por unidad de elemento de corriente), puede esperar que sea el potencial del vector magnético. Y podemos demostrar que este es el caso (de nuevo, módulo un factor de 2 para el doble conteo). El resultado final es
[matemáticas] U_m = \ frac {1} {2} \ int \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} \, \ mathrm {d} V [/ math]
y la energía total de la configuración es
[matemáticas] U_ {em} = \ frac {1} {2} \ int \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} + \ rho \ phi \, \ mathrm {d} V [/ math]
Entonces, como dije antes, así como el potencial escalar eléctrico es energía potencial por unidad de carga, el potencial del vector magnético es energía potencial por unidad de elemento de corriente. Pero la corriente tiene una dirección, por lo que el potencial del vector magnético debe tener tres componentes. Por eso también es un vector.
La interpretación del potencial del vector magnético como energía potencial por unidad de elemento de corriente puede llevarse más lejos en la mecánica lagrangiana. El lagrangiano para una partícula cargada no relativista en un campo electromagnético es
[matemáticas] L = T – q \ phi + q \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] q \ mathbf {v} [/ math] es un elemento de la corriente.
Sin embargo, realmente se necesita la mecánica lagrangiana para dar sentido a los potenciales dependientes de la velocidad: la buena imagen newtoniana con fuerza como el gradiente (negativo) de energía potencial no se aplica aquí. Sospecho que esta es la razón por la cual este significado del potencial del vector magnético no se explora realmente en la electrodinámica de introducción para estudiantes de pregrado: tales cursos, al menos en Norteamérica, generalmente presuponen el conocimiento de la mecánica newtoniana.
El potencial del vector magnético también tiene un significado más profundo, pero debe comprender la mecánica cuántica para que tenga sentido para usted. Es el cambio de fase por unidad de carga que una partícula cargada recoge a medida que se mueve a través del espacio . Es decir, si una partícula con carga [matemática] q [/ matemática] se mueve a lo largo de un camino de un punto a otro, el potencial del vector magnético hace que la fase de su función de onda mecánica cuántica cambie
[matemáticas] \ Delta \ varphi = \ frac {q} {\ hbar} \ int \ mathbf {A} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} [/ math]
Esto se puede observar directamente en el experimento de Aharonov-Bohm.
Tenga en cuenta que el potencial escalar eléctrico es el cambio de fase por unidad de carga que una partícula cargada recoge a medida que avanza en el tiempo . Esto es bastante claro ya que el potencial escalar eléctrico multiplicado por la carga es energía potencial, y la ecuación de Schrödinger nos dice que la energía de la partícula es la velocidad a la que su fase evoluciona con el tiempo, módulo un factor de h-bar. Entonces, el potencial del vector magnético tiene la misma relación con el espacio que el potencial escalar eléctrico con el tiempo . (De hecho, en la relatividad, vemos que el potencial escalar eléctrico forma el componente del tiempo, y el potencial del vector magnético los componentes del espacio, de un vector cuatro, llamado el potencial electromagnético de cuatro).
[1] ¿Por qué el factor de la mitad? Porque cuando nos integramos en todo el espacio de esta manera, estamos contando dos veces cada par de cargas.
