Digamos que está midiendo una partícula libre (la energía potencial es constante en todas partes) que pasa a través de una configuración de doble rendija. Si una partícula golpea la pantalla en algún momento [math] \ mathbf {x} [/ math], entonces digamos que sabemos que la partícula está en el estado de posición [math] | \, \ mathbf {x} \, \ rangle [/ math].
¿Cómo determinamos la amplitud del estado [math] | \, \ mathbf {x} \, \ rangle [/ math]? Bueno, necesitamos agregar las amplitudes para cada camino que las partículas pueden tomar a través de la configuración de dos rendijas. Según Feynman, cada camino tiene una amplitud dada por
[matemáticas] Ae ^ {i \ phi} \, | \, \ mathbf {x} \, \ rangle [/ math]
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donde [math] A [/ math] es solo una constante de normalización y [math] \ phi [/ math] es el ángulo de fase de las amplitudes. Normalmente, [math] \ phi [/ math] se determina calculando la acción clásica tomada a lo largo de ese camino en particular. Afortunadamente, dado que estamos tratando con partículas libres, no tenemos que hacer esto. Ya sabemos que el ángulo de fase es proporcional a la distancia que recorre la partícula si toma ese camino.
Si está mirando un punto oscuro en el patrón de interferencia de doble hendidura, está viendo un lugar donde la diferencia en la longitud del camino para la partícula si fuera a tomar cualquier hendidura es un número entero más una media longitud de onda. Esto corresponde a una diferencia de fase de amplitud de [math] \ pi [/ math].
Entonces, a la amplitud de la partícula en un estado de posición donde hay un punto oscuro, sería
[matemáticas] A ‘\, | \, \ mathbf {x} \, \ rangle = Ae ^ {i \ phi} \, | \, \ mathbf {x} \, \ rangle + Ae ^ {i (\ phi + \ pi)} \, | \, \ mathbf {x} \, \ rangle = Ae ^ {i \ phi} \, | \, \ mathbf {x} \, \ rangle – Ae ^ {i \ phi} \, | \, \ mathbf {x} \, \ rangle = 0. [/ math]
Cuando una partícula viaja a través de un experimento de dos rendijas en la pantalla, los estados de posición en los puntos oscuros en el patrón de interferencia interfieren destructivamente entre sí.
