Los agujeros negros más aburridos (es decir, los que no giran ni tienen carga electromagnética) se llaman agujeros negros de Schwartzschild y se describen mediante la métrica de Schwarzschild:
[matemáticas] ds ^ 2 = (1 – \ frac {r_s} {r}) c ^ 2 dt ^ 2 – (1 – \ frac {r_s} {r}) ^ {- 1} dr ^ 2 – r ^ 2 (d \ theta ^ 2 + \ sin ^ 2 (\ theta) dd \ phi ^ 2) [/ math]
En cualquier tipo de clase de Relatividad general, demostrará que esta métrica resuelve la ecuación de Einstein de [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} – g _ {\ mu \ nu} R = 0 [/ matemática ]
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Donde [math] R _ {\ mu \ nu} [/ math] es el Ricci Tensor y [math] R [/ math] es el Ricci Scalar. Estos dos, y el tensor de curvatura de Riemann [matemática] R _ {\ mu \ nu \ sigma \ rho} [/ matemática] tienen información sobre cómo se curva el espacio. Debido a que estamos tratando con un sistema sin ningún asunto real, tanto [math] R [/ math] como [math] R _ {\ mu \ nu} [/ math] serán cero en todas partes. Sin embargo, el tensor de Riemann no lo será. Tengo problemas para convencer a Quora de que muestre matrices, por lo que solo daré los términos con los que está construido:
[matemáticas] – \ frac {\ text {rs}} {2 r ^ 3 \ left (1- \ frac {\ text {rs}} {r} \ right)} [/ math]
Y
[matemáticas] \ frac {\ text {rs} \ left (1- \ frac {\ text {rs}} {r} \ right)} {2 r ^ 3} [/ math]
Y
[matemáticas] \ frac {\ text {rs} \ sin ^ 2 (\ theta)} {2 r} [/ matemáticas]
Ahora, en principio, el Tensor de Riemann no tiene que tener un valor específico, sin embargo, mirando la expresión anterior, ya sea conectando [math] r = r_s [/ math] o [math] r = 0 [/ math] Y, de repente, este tensor de Riemann tiene valores infinitamente grandes. Como este tensor representa la diferencia entre el espacio curvo y el espacio euclidiano plano, infinito sería un valor no aceptado.
Ahora, como se mencionó, el tensor de Riemann también explota en [math] r = r_s [/ math], pero probablemente hayas aprendido que el horizonte es simplemente un área invisible e indefinible en el espacio. Entonces, ¿por qué el tensor de Riemann va al infinito allí? Si recuerdo correctamente, entonces esto es simplemente un artefacto del sistema de coordenadas que se eligió. Hay otros marcos de coordenadas en los que el tensor de Riemann permanece perfectamente finito en [math] r = r_s [/ math].
Sin embargo, no hay un marco de coordenadas en el que el Tensor de Riemann permanezca finito en [math] r = 0 [/ math]. Por lo que sé, esto solo no es suficiente para proclamar algo singular, recuerdo vagamente algunos argumentos sobre muchas contracciones de [matemáticas] R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} [/ matemáticas] que necesitan ser infinitas en Para que haya una verdadera singularidad.
Sin embargo, ignorando eso por ahora, tenemos un punto, [math] r = 0 [/ math], y en ese punto la descripción del espacio se vuelve infinitamente diferente de la descripción del espacio plano. En el caso de la métrica de Schwarzschild, esta es una singularidad.
Tenga en cuenta una cosa interesante. Para [math] r> r_s [/ math], la métrica se comporta de manera bastante normal. Para [math] r = r_s [/ math] el componente de tiempo de la métrica desaparece y el componente radial se vuelve infinito, y para [math] r <r_s [/ math], los signos de esos dos componentes han cambiado. Esto le dice que un objeto que cae no puede escapar: no porque simplemente no tenga suficiente velocidad, sino porque el agujero negro siempre estará adelante en su futuro.
