Las ecuaciones de Maxwell individualmente son las mismas leyes que regían la electricidad y el magnetismo, antes de la modificación y realización de la dualidad de la interacción electromagnética por parte de Maxwell.
Básicamente, tomó las leyes de Gauss para la electricidad y el magnetismo, la ley de inducción de Faraday y la ley de Ampere y las unió de manera concisa y efectiva.
Lo sorprendente que resulta de esto, no son las ecuaciones como ecuaciones, sino la consecuencia de lo que implican estas ecuaciones, y la consecuencia es, por supuesto, el acoplamiento de la electricidad y el magnetismo en una sola interacción fundamental, la interacción electromagnética.
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Como recientemente revisé mi electromagnetismo oxidado, debido a un error muy estúpido que cometí, me gustaría elaborar más, matemáticamente y como ejercicio, para la derivación del campo electromagnético, a partir de las ecuaciones de Maxwell. Si está aburrido de leer esto, puede continuar y omitirlo, solo mostraré con matemáticas lo que dije en los primeros 3 párrafos de mi respuesta.
Entonces, básicamente tenemos las 4 ecuaciones de Maxwell y, en forma diferencial, se escriben como:
- [matemáticas] \ nabla \ cdot E = \ dfrac {ρ} {ε_0} [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ nabla \ cdot B = 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] c ^ 2 (\ nabla \ veces B) = \ dfrac {J} {ε_0} + \ dfrac {\ partial E} {\ partial t} [/ math]
- [matemáticas] \ nabla \ veces E = – \ dfrac {\ partial B} {\ partial t} [/ math]
La segunda ecuación sugiere que no existen cargas magnéticas, es decir, monopolos magnéticos.
Entonces, aquí tenemos nuestras ecuaciones. Lo que queremos mostrar ahora es las relaciones en las ecuaciones de Maxwell de [matemáticas] E [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] con respecto a potenciales y vectores. Y comenzaremos resolviendo la segunda ecuación, que es la más simple.
El hecho de que la divergencia de [math] B [/ math] sea cero, implica que [math] B [/ math] es el rizo de algo (porque la divergencia de un rizo siempre es cero), por lo que podemos reescribir la ecuación como tal:
[matemáticas] B = \ nabla \ veces A [/ matemáticas] [matemáticas] (1) [/ matemáticas]
Ahora, tomemos la ley de Faraday:
[matemáticas] \ nabla \ veces E = – \ dfrac {\ partial B} {\ partial t} [/ math]
Si expresamos [matemáticas] B [/ matemáticas] como derivado en la ecuación (1) , entonces tenemos:
[math] \ nabla \ times E = – \ dfrac {\ partial (\ nabla \ times A)} {\ partial t} [/ math]
y como vemos que podemos diferenciar con respecto al espacio o al tiempo primero, entonces podemos reescribir la ecuación como:
[matemáticas] \ nabla \ veces (E + \ dfrac {\ parcial A} {\ parcial t}) = 0 [/ matemática]
Ahora vemos que el término entre paréntesis puede representarse mediante un vector [matemático] V = E + \ dfrac {\ parcial A} {\ parcial t} [/ matemático] cuyo rizo es igual a 0:
[matemáticas] \ nabla \ veces V = 0 [/ matemáticas]
Lo que significa que ese vector para su curvatura es [matemática] 0 [/ matemática], debería ser el gradiente de algo y denotémoslo como [matemática] φ. [/ Matemática]
[matemática] E + \ dfrac {\ parcial A} {\ parcial t} = – \ nabla φ [/ matemática]
Ahora, podemos aplicar esto en la ley de Faraday de tal manera que cuando nada cambia con el tiempo, el término [matemática] \ dfrac {\ parcial A} {\ parcial t} [/ matemática] se desvanece y terminamos con:
[matemática] E = – \ nabla φ – \ dfrac {\ parcial A} {\ parcial t} [/ matemática] [matemática] (2) [/ matemática]
Ahora, hemos establecido que [matemática] A [/ matemática] determina una parte de [matemática] E [/ matemática] así como también una parte de [matemática] B [/ matemática].
Entonces, es una pregunta lógica, qué pasaría si cambiamos [matemáticas] A [/ matemáticas] a [matemáticas] A ‘[/ matemáticas], donde:
[matemáticas] A ‘= A + \ nabla ψ [/ matemáticas]
qué sucede con [matemáticas] φ [/ matemáticas], después de esto es un cambio similar con respecto a [matemáticas] ψ [/ matemáticas]:
[matemáticas] φ ‘= φ – \ dfrac {\ partial ψ} {\ partial t} [/ math]
Una consecuencia de esto es que un cambio en A, o φ no implica un cambio en [matemáticas] E [/ matemáticas] o [matemáticas] B [/ matemáticas].
Entonces nos quedan dos ecuaciones más de Maxwell, y ellas, como nos damos cuenta, nos darán las relaciones entre los potenciales, la corriente y la densidad de carga.
Entonces, si tomamos nuestra segunda ecuación (2) y la sustituimos en la primera Ley de Maxwell, obtenemos:
[matemáticas] \ nabla \ cdot (- \ nabla φ – \ dfrac {\ partial A} {\ partial t}) = \ dfrac {ρ} {ε_0} [/ math]
que, después de expandir el paréntesis, es igual a:
[matemáticas] – \ nabla ^ 2φ – \ dfrac {\ partial {(\ nabla \ cdot A)}} {\ partial t} = \ dfrac {ρ} {ε_0} [/ math] [matemáticas] (3) [/ matemáticas]
y ahora tenemos una relación entre [matemáticas] φ [/ matemáticas], [matemáticas] Α [/ matemáticas] y [matemáticas] ρ [/ matemáticas].
Ahora, avancemos para tratar de encontrar el siguiente, comenzando desde la cuarta ecuación de Maxwell.
[math] c ^ 2 (\ nabla \ times B) = \ dfrac {J} {ε_0} + \ dfrac {\ partial E} {\ partial t}, [/ math] reorganizando los rendimientos:
[matemáticas] c ^ 2 (\ nabla \ veces B) – \ dfrac {\ partial E} {\ partial t} = \ dfrac {J} {ε_0} [/ math]
y si sustituimos B y E, en términos de lo que derivamos anteriormente, y después de aplicar la identidad que [math] \ nabla \ times ({\ nabla \ times A}) = \ nabla (\ nabla \ cdot A) – \ nabla ^ 2A, [/ math] terminamos con:
[matemáticas] -c ^ 2 \ nabla ^ 2A + c ^ 2 \ nabla (\ nabla \ cdot A) + \ dfrac {\ partial {\ nabla φ}} {\ partial t} + \ dfrac {\ partial ^ 2 A } {\ partial t ^ 2} = \ dfrac {J} {ε_0} [/ math]
… Y realmente espero que lo que tengo la intención de escribir, vaya a aparecer correctamente como yo quiero. Aunque lo dudo y probablemente tendré que editar muchísimo esta publicación …
Ahora, en este punto, es hora de que hablemos sobre la divergencia de A, que definimos anteriormente. Tenemos la libertad de elegir arbitrariamente la divergencia de la misma, por lo que podríamos elegirla de tal manera que A y φ estén separados pero tengan la misma forma:
[matemáticas] \ nabla \ cdot A = – \ dfrac {1} {c ^ 2} \ dfrac {\ partial φ} {\ partial t} [/ math]
y si sustituimos esto, en nuestra tercera ecuación derivada, los términos medios se cancelan entre sí y después de dividir con [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas] nos queda con:
[matemáticas] \ nabla ^ 2A – \ dfrac {1} {c ^ 2} \ dfrac {\ partial ^ 2 A} {\ partial t ^ 2} = \ dfrac {-J} {ε_0c ^ 2} [/ math]
o para φ,
[matemáticas] \ nabla ^ 2φ – \ dfrac {1} {c ^ 2} \ dfrac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial t ^ 2} = – \ dfrac {ρ} {ε_0} [/ matemáticas] [matemáticas ] (4) [/ matemáticas]
Y ahora hemos expresado las ecuaciones de Maxwell en términos de potenciales, campos y fuentes.
En las últimas dos ecuaciones, reconocemos el laplaciano y si expandimos la identidad, tenemos:
[matemáticas] \ dfrac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial x ^ 2} + \ dfrac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial y ^ 2} + \ dfrac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial z ^ 2} – \ dfrac {1} {c ^ 2} \ dfrac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial t ^ 2} = – \ dfrac {ρ} {ε_0} [/ math]
Y ahora esta ecuación es tan hermosa porque debería recordarnos cómo se introdujeron las ondas gravitacionales de la Relatividad General, y también, la solución a esta ecuación se ve muy similar a la solución de la Ecuación de Schrodinger con el potencial [matemático] U [/ matemático ] establecido igual a [math] 0 [/ math], descrito por una función de onda [math] Ψ = e ^ {i (kx – ωt)}. [/ math]
Como nota al margen, la mecánica cuántica aún no se descubrió cuando Maxwell unificó la electricidad y el magnetismo y la noción de giro, etc., no existía, por lo que la descripción de la Electrodinámica Clásica ahora es anulada por la Electrodinámica Cuántica.
Sin embargo, podemos apreciar la magnificencia de este conjunto de ecuaciones, ¡ya que también podemos ver la inspiración que Maxwell brindó a la comunidad científica!