No asignamos el valor del giro del electrón: calculamos / observamos que el momento angular del giro del electrón es [matemático] \ frac {1} {2} \ hbar [/ matemático].
¿Por qué su momento angular de giro toma ese valor?
Comienzas con la relación de conmutación canoncial por espacio e impulso
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[matemáticas] [p_x, x] = i \ hbar [/ matemáticas]
(y de manera similar para [math] y, p_y [/ math] y [math] z, p_z [/ math]).
Entonces recuerdas la definición de momento angular
[matemáticas] \ vec {L} = \ vec {p} \ veces \ vec {x} [/ matemáticas]
Es fácil verificar que
[matemáticas] [L_x, L_y] = i \ hbar L_z [/ matemáticas]
(y de manera similar para las otras dos relaciones de conmutación)
Esta estructura forma un álgebra de Lie compacta y pasas por una rigamarola completa sobre cuál es el espacio de estados de Hilbert para tal sistema y terminas con
- los valores propios azimutales del momento angular para los estados están separados por unidades [math] \ hbar [/ math]
- Las diferentes posibilidades se clasifican por cuántos pasos hay entre los estados más bajo y más alto del momento angular azimutal.
- Los valores más bajos y más altos son momento angular tienen negativo entre sí.
Entonces, el momento angular más simple tiene cero pasos entre ellos, lo que significa que el momento angular azimutal es 0. El siguiente más simple tiene un paso entre el más bajo y el más alto, lo que significa que el estado de momento angular azimutal más bajo es [matemática] – \ frac { 1} {2} \ hbar [/ math] y el más alto es [math] + \ frac {1} {2} \ hbar [/ math]. El siguiente más simple tiene dos pasos y los estados son [matemática] – \ hbar, 0 [/ matemática] y [matemática] + \ hbar [/ matemática]. Ves el patrón en este punto.
El electrón resulta ser la representación no trivial más simple del momento angular. Debido a que su momento angular azimutal tiene un valor máximo de [math] + \ frac {1} {2} \ hbar [/ math], lo llamamos spin- [math] \ frac {1} {2} [/ math]. El momento angular de giro del electrón tiene una magnitud
[matemáticas] \ sqrt {\ frac {1} {2} \ left (1 + \ frac {1} {2} \ right)} \ hbar = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hbar. [ /matemáticas]
Cuando Stern y Gerlach pusieron una corriente de rayos catódicos (electrones) a través de un campo magnético en 1922 y vieron dos líneas, esto inmediatamente indicó que el electrón era spin- [matemático] \ frac {1} {2} [/ matemático], aunque Le tomó hasta Uhlenbeck y Goudsmit interpretarlo adecuadamente en 1927.
