El número más reciente que puedo encontrar para la energía de colisión protón-protón en el LHC es 13 TeV (los experimentos del LHC vuelven a funcionar con una energía récord). Esta es la energía total medida desde el marco de referencia del centro de masa de los dos protones, lo que significa que cada protón entra con una energía de 6.5 TeV.
La energía de una partícula viene dada por [math] E = \ gamma mc ^ 2 [/ math], por lo que el factor de Lorentz para cada haz es [math] \ gamma = E_p / m_p c ^ 2 \ aprox 6930 [/ math] . Esto corresponde a una velocidad de
[matemáticas] \ beta \ equiv \ frac {v} {c} = \ sqrt {1 – \ frac {1} {\ gamma ^ 2}} \ aprox 1 – \ frac {1} {2 \ gamma ^ 2} \ aproximadamente 1 – 1.04 \ por 10 ^ {- 8} [/ matemáticas]
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(que es una forma más significativa de escribirlo que una cadena de nueves después de un punto decimal).
Eso nos da la velocidad de cada haz en relación con el túnel. Ahora, podemos aplicar la fórmula de adición de velocidad relativista para encontrar la velocidad de un haz en relación con el otro a medida que se cruzan:
[matemáticas] \ beta_2 = \ frac {2 \ beta} {1+ \ beta ^ 2} \ aprox 1 – \ frac {(1- \ beta) ^ 2} {2} \ aprox 1 – 5.4 \ veces 10 ^ { -17} [/ matemáticas].
No hace falta decir que esto está muy cerca de la velocidad de la luz. Cada haz individualmente está a solo 3 m / s menos de la velocidad de la luz en relación con el túnel, pero uno en relación con el otro, ¡la velocidad es solo inferior a la velocidad de la luz en medio metro por año!
Si está interesado, también hay una forma alternativa de hacer este cálculo, utilizando variables de Mandelstam, que tienen el mismo valor en cada marco de referencia. La “energía de colisión” es [matemática] \ sqrt {s} [/ matemática], por lo tanto, si cambia a un cuadro donde un protón está estacionario, obtiene
[matemáticas] 13 \ text {TeV} = \ sqrt {s} = \ sqrt {\ left [(\ gamma + 1) m_p c ^ 2 \ right] ^ 2 – (\ gamma m_p c ^ 2 \ beta) ^ 2 } = m_p c ^ 2 \ sqrt {(\ gamma + 1) ^ 2 – (\ gamma \ beta) ^ 2}. [/ math]
Al orden principal, obtenemos
[matemáticas] \ begin {align *} 13 \ text {TeV} & \ approx m_p c ^ 2 \ sqrt {2 \ gamma} \\ \ gamma & \ approx \ frac {1} {2} \ left (\ frac { 13 \ text {TeV}} {m_p c ^ 2} \ right) ^ 2 \\ & \ approx 9.6 \ times 10 ^ 7 \\ \ beta_2 & \ approx 1 – \ frac {1} {2 \ gamma ^ 2} \\ & \ approx 1 – 5.4 \ times 10 ^ {- 17}, \ end {align *} [/ math]
tal como lo obtuvimos con el otro método.
