En gran medida (en gran medida, así que por favor tome todo aquí con un grano de sal), hay dos tipos de investigación matemática, comúnmente conocidos como ‘demostración de teoremas / resolución de problemas’ versus ‘construcción de teorías’. Las características típicas de la investigación del tipo de prueba de teorema / resolución de problemas es tratar de abordar un famoso problema abierto, generalmente expresado en forma de conjetura sobre la validez de un enunciado o la especificación de un problema. Muy a menudo, esto implicará pasar mucho tiempo aprendiendo el material relevante, analizando intentos particulares de soluciones, tratando de descubrir por qué no funcionan y, con suerte, llegar a alguna mejora en un intento existente, o un intento completamente nuevo, eso tiene un buen cambio de trabajo. Las preguntas abiertas muy famosas incluyen: La hipótesis de Riemann y
P ≠ NP [matemáticas] P ≠ NP [/ matemáticas] (que son ejemplos de demostración de teoremas) y la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes (un ejemplo de resolución de problemas), los tres están en la lista de problemas del milenio del Instituto Clay.
La construcción de teorías es una actividad algo diferente que implica la creación de nuevas estructuras o la extensión de estructuras existentes. Por lo general, la motivación detrás del estudio de estas nuevas estructuras proviene de un deseo de generalizar (para obtener una mejor comprensión o poder aplicar técnicas particulares de un área a una clase más amplia de problemas) o puede ser necesario. nuevas estructuras para existir, debido a alguna aplicación en mente. Las actividades típicas incluirían mucha lectura sobre estructuras relevantes, comprender su papel global, descubrir qué generalizaciones o nuevas estructuras tendrían sentido, cuál será el objetivo de la nueva teoría, y luego un largo proceso de probar teoremas de estructuras básicas para nuevas estructuras que necesitarán ajustar los axiomas. Un ejemplo sorprendente de este tipo de investigación es la reformalización de Grothendieck de la geometría algebraica moderna. También se puede decir que el trabajo inicial de Cantor sobre la teoría de conjuntos cae en este tipo de investigación, y hay muchos otros ejemplos.
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Por supuesto, con bastante frecuencia se requiere una combinación de los dos enfoques.
Hoy, la investigación puede ser asistida por una computadora (experimentalmente, computacionalmente y exploratoria). Cualquier investigación matemática requerirá una gran cantidad de aprendizaje (tanto de resultados como de técnicas) y ciertamente incluirá largas horas de pensamiento. Todo el proceso me parece extremadamente creativo.
Espero que esto ayude. Como debería quedar claro, esta es una respuesta bastante subjetiva y no pretendo que nada de lo que dije que se tome se diga con algún tipo de rigor matemático.
