Estoy bastante decepcionado con las respuestas actuales. ¡Bien, aquí voy!
La simetría radial es maravillosa , al menos cuando ya está presente en un sistema. Si consideramos al laplaciano en coordenadas esféricas, tenemos algo como
[math] \ nabla ^ 2 = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial r ^ 2} (r \ psi) + \ text {términos angulares desordenados}. [/ math]
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No escribí los términos angulares, pero si tenemos simetría angular / esférica , desaparecen, ya que las derivadas con respecto a cantidades que no cambian producen cero. Sin embargo, con simetría radial , en realidad es el primer término que desaparece. Si usamos esto en la ecuación de Schrodinger,
[matemáticas] \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ psi + V (r, \ theta, \ phi) \ psi = E \ psi [/ matemáticas]
Con simetría radial, esto significa que el potencial también tendrá una constante [matemática] r = R. [/ Matemática] Tenemos tres casos:
- Nuestro potencial es constante. En ese caso, obtenemos, esencialmente, los armónicos esféricos como soluciones a esta ecuación, que se tabulan en línea y en los libros de texto.
- Nuestro potencial es tal que todavía tenemos una PDE separable. Esto significa que el sistema todavía es exactamente solucionable.
- El potencial no cumple ninguna de las situaciones anteriores, y tiene que usar técnicas numéricas para hacer esto.
El único inconveniente es que la simetría radial no es muy común en la física fundamental. La fuerza de Coulomb es esféricamente simétrica, y muchas otras interacciones (acoplamiento giro-órbita, van der Waals, etc.) no son radialmente simétricas. Ni siquiera el potencial de pozo cuadrado infinito es radialmente simétrico.