¿Qué es un esferoide achatado? ¿Cuáles son sus funciones?

Es una esfera que se ha comprimido linealmente a lo largo de una dimensión, o de manera equivalente, un sólido obtenido al rotar una elipse a lo largo de su eje menor (ya que una elipse puede verse como un círculo comprimido linealmente a lo largo de una dimensión).

La forma más general que abarca el esferoide oblato es el elipsoide: una esfera que ha sido sometida a una transformación lineal invertible. Para ayudar a visualizar, haga clic en el enlace y observe cómo la sección transversal plana perpendicular al eje principal son elipse. De hecho, cualquier sección transversal plana de un elipsoide es una elipse.

En el caso de un esferoide, se puede obtener mediante una transformación lineal que no hace nada a lo largo de un plano (tiene un plan propio (dos vectores propios) asociados a su valor propio 1), y comprime o estira a lo largo de la dirección perpendicular de un plano, ya sea es, respectivamente, oblato o prolado (y tiene otro valor propio, la línea correspondiente es ortogonal a las otras, menor o mayor que uno).

Por lo tanto, las funciones / ecuaciones relacionadas con el esferoide son casos particulares de funciones relacionadas con el elipsoide, que luego son alteraciones de funciones bien conocidas relacionadas con las esferas (con la notable excepción del área de superficie, que se puede calcular para los esferoides pero no para los elipsoides).

Ecuación cartesiana de esfera, elipsoide y esferoide, siendo z la coordenada en el eje particular del esferoide:

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} {r ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} + \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {z ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas]

Para ver mejor cómo se han obtenido los elipsoides y los esferoides de la esfera, puede reescribir las dos ecuaciones posteriores como

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + (y / b ‘) ^ 2 + (z / c’) ^ 2} {a ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 + y ^ 2 + (z / c ‘) ^ 2} {a ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

con [matemáticas] b ‘= b / a [/ matemáticas] y [matemáticas] c’ = c / a [/ matemáticas]

Parametrización de una esfera, elipsoide y esferoide:

[matemáticas] x = r \ cos (u) \ cos (v) y = r \ cos (u) \ sin (v) z = r \ sin (u) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = a \ cos (u) \ cos (v) y = b \ cos (u) \ sin (v) z = c \ sin (u) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = a \ cos (u) \ cos (v) y = a \ cos (u) \ sin (v) z = c \ sin (u) [/ matemáticas]