¿Cómo se descubrió la forma de los lagrangianos?

El desarrollo del principio de acción y la formulación moderna de los lagrangianos es el resultado del trabajo de muchas personas durante un período de tiempo que abarca siglos. (Wikipedia en realidad ofrece una buena visión general, aunque concisa: principio de menor acción). No hubo un gran momento “¡ajá!”; más bien, hubo varios pequeños, cada uno un paso esencial hacia la formulación moderna.

En las raíces conceptuales, encontramos el principio de Fermat desde mediados de 1600: que un rayo de luz, a medida que viaja a través de varios medios, encuentra el camino entre dos puntos que requiere la menor cantidad de tiempo.

A mediados de la década de 1700, Maupertius aplicó el mismo principio de manera más amplia, como fundamento de todas las “leyes de movimiento y descanso”.

Casi al mismo tiempo, en 1744, Euler presentó una formulación del principio de acción que ahora reconocemos como la acción reducida : [matemática] \ delta \ int p ~ dq = 0 [/ matemática].

En 1760, Lagrange desarrolló lo que hoy se conoce como el cálculo de variaciones, que es la matemática formal detrás del principio de acción.

Finalmente, en 1834-1835, Hamilton aplicó las matemáticas de Lagrange al lagrangiano clásico en la forma [matemática] L = TV [/ matemática] ([matemática] T [/ matemática] es la cinética, [matemática] V [/ matemática] la energía potencial) y la mecánica moderna Lagrange-Hamiltoniana nació.

Como sugieren los detalles de la pregunta, habría sido realmente desconcertante si a un solo individuo se le ocurriera este concepto espectacularmente hermoso pero de ninguna manera trivial. Pero ese no fue el caso. Más bien, requirió la contribución de muchas personas excepcionales en el transcurso de aproximadamente doscientos años … así que de ninguna manera fue un parto fácil.

Creo que la idea se inspiró de alguna manera en la ley de refracción de Snell, que es una manifestación directa de la idea de que la dinámica de un sistema físico se puede describir como la que minimiza “algo”; En el caso que nos ocupa, la refracción resulta del hecho de que los rayos de luz toman efectivamente el camino más rápido entre dos puntos. Una pregunta natural a plantear, en este contexto, es ¿se puede describir la dinámica de otros sistemas físicos de esta manera? De hecho, pueden.

Las ecuaciones de movimiento de Lagrange no son más que una reformulación de la Segunda Ley de Newton (F = ma). La reformulación en sí misma es esencialmente completamente sencilla. El punto es que esta reformulación le permite a uno reformular la dinámica de un sistema físico dado como un problema de minimización (más precisamente, extremización) . Esto rima muy bien con el sabor de la intuición que subyace a la derivación de la ley de Snell.

Puede que le resulte útil consultar el artículo de Wikipedia sobre el Principio de la menor acción, que ofrece algunos antecedentes relevantes que conducen al trabajo de Lagrange. Estaba razonando por analogía con problemas similares cuyas soluciones ya se conocían. Sin embargo, en algún nivel, la respuesta a su pregunta es que las personas realmente inteligentes que trabajan muy duro pueden hacer cosas increíbles.