En cascada, ¿por qué la temperatura varía de arriba a abajo?

Usemos la primera ley de la termodinámica para responder esta pregunta. Permita que nuestro sistema ( termodinámicamente abierto , no olvide que el agua ingresa en la parte superior y salga en la parte inferior) se defina como la cascada y todo lo demás como el entorno. La parte superior de la cascada es [matemática] 1 [/ matemática] y la parte inferior de la cascada es [matemática] 2 [/ matemática]. El agua entra en la parte superior de la cascada con una cierta velocidad [matemática] w_1 [/ matemática], cae y descansa en [matemática] 2 [/ matemática], es decir [matemática] w_2 = 0 [/ matemática]. (A pesar de esto, el agua todavía se está yendo a [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. ¿Cómo? Un mago lo hizo ) .

La primera ley de la termodinámica para un sistema abierto dice:

[matemáticas] q_ {12} + l_ {t12} = \ Delta h + \ dfrac {w ^ 2_2 – w ^ 2_1} {2} + g (z_2 – z_1) [/ matemáticas]

  • [math] q_ {12} [/ math] es la transferencia de calor específica a través del límite del sistema. En nuestro caso, [math] q_ {12} = 0 [/ math].
  • [math] l_ {t12} [/ math] es el trabajo del eje a través del límite del sistema. En nuestro caso, [math] l_ {t12} = 0 [/ math] (no veo ninguna biela).
  • [matemáticas] \ Delta h [/ matemáticas] es el cambio en la entalpía del sistema. Suponiendo que la cascada está compuesta de agua pura , podemos calcular este cambio de entalpía con la ecuación [matemáticas] \ Delta h = \ displaystyle \ int_1 ^ 2 \, \ mathrm dh = \ displaystyle \ int_1 ^ 2 c_p \, \ mathrm dT + \ displaystyle \ int_1 ^ 2 \ left [v – T \ cdot \ left (\ dfrac {\ partial v} {\ partial T} \ right) _p \ right] \, \ mathrm dp [/ math]. Suponemos que el cambio de presión es insignificante entre la parte superior y la parte inferior de la cascada ([math] \ mathrm dp \ approx 0 [/ math]), con la ventaja de que esto simplifica significativamente nuestra ecuación: [math] \ Delta h = \ int_1 ^ 2 c_p \, \ mathrm dT = c_p (T_2 – T_1). [/ math]
  • [matemática] \ dfrac {w ^ 2_2 – w ^ 2_1} {2} [/ matemática] es el cambio específico en la energía cinética . Recuerde que el fondo de nuestra cascada contiene agua en reposo: [matemáticas] w_2 = 0 [/ matemáticas].
  • [matemática] g (z_2 – z_1) [/ matemática] es el cambio en la energía potencial gravitacional . Suponemos que la altura de la cascada es insignificante ([matemáticas] z_2 – z_1 \ aprox 0 [/ matemáticas] [matemáticas]) [/ matemáticas] para que podamos ignorar este término por completo.

¿Cómo se ve nuestra ecuación ahora?

[matemáticas] 0 = c_p (T_2 – T_1) – \ dfrac {w ^ 2_1} {2} [/ matemáticas]

Reorganizar conduce a:

[matemáticas] T_2 = T_1 + \ dfrac {w ^ 2_1} {2 \ cdot c_p} [/ matemáticas]

o en palabras:

¡La temperatura en el fondo de la cascada es igual a la temperatura en la parte superior de la cascada más el aumento de temperatura debido al cambio en la energía cinética!

El agua gana energía cinética a medida que cae y pierde su energía potencial. Suponiendo que no haya otras pérdidas, parte de la ganancia de energía cinética del agua se convierte en calor, elevando la temperatura del agua.

El agua es ligeramente más cálida en el fondo de una cascada que en la parte superior porque la energía potencial gravitacional se convierte primero en energía cinética del agua que cae y, finalmente, en energía térmica a medida que descansa en el fondo. Supongamos que una cascada se encuentra en un planeta donde la aceleración gravitacional es g = 6 m / s2. Calcule la altura de la cascada si la temperatura del agua es 0.213 C más cálida en la parte inferior que en la superior. La energía potencial gravitacional viene dada por mgh, donde m es la masa de una cantidad dada de agua y h es la altura del agua. La capacidad calorífica del agua es 4184 J / kg / K.

Energía potencial gravitacional = masa x fuerza gravitacional x altura (E = mgh),

Y suponiendo que este es un sistema conservador donde no hay pérdida de energía
Pérdida de energía potencial gravitacional = ganancia en energía cinética molecular del agua.

La temperatura es una medida de la energía cinética de las moléculas en un cuerpo.

mgh = masa x capacidad calorífica específica x cambio de temperatura

Puedes ver en la ecuación anterior que habrá una diferencia de temperatura

(0)

El cambio de temperatura probablemente se deba al enfriamiento por evaporación: a medida que caen las gotas de agua, se evaporan, llevándose consigo una tonelada de calor latente, lo que hace que la cascada se enfríe (si tiene 2 g de agua a 25 ° C y se evaporan 0,05 g, el agua restante se enfriará a unos 10 C). Este es el principio fundamental detrás de las torres de enfriamiento.

¿Lo hace? Si lo hace, es probable porque la energía potencial gravitacional se está convirtiendo en energía cinética, luego el movimiento turbulento en la piscina de agua en el fondo convierte la energía cinética en calor y sonido.

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