Más allá de todas las otras implicaciones (de las cuales hay muchas), consideremos solo el teorema de las estadísticas de rotación.
Considere una teoría de campo cuántico arbitraria en Minkowskian 4-space, con operadores de creación y aniquilación [math] a ^ {\ dagger} [/ math] y [math] a [/ math], respectivamente, de modo que, dado un estado de vacío [ matemáticas] | 0 \ rangle [/ matemáticas], [matemáticas] a _ {\ mathbf {p}} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ {\ dagger} _ {\ mathbf { p}} | 0 \ rangle = | \ mathbf {p} \ rangle [/ math].
Podemos escribir los campos [math] \ phi (x) [/ math] en función de los operadores de creación y aniquilación.
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En la teoría cuántica de campos, un estado [matemático] | \ psi \ rangle = \ psi (x, y) [/ matemático] se escribe en términos de operadores de campo que actúan en el vacío. Por ejemplo, tomemos un estado arbitrario de 2 partículas descrito por la función de onda [math] \ psi (x, y) [/ math]; se puede escribir en términos del vacío y el operador
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y \ psi (x, y) \ phi (x) \ phi (y) [/ math]
El campo es conmutativo si
[matemáticas] [\ phi (x), \ phi (y)] = \ phi (x) \ phi (y) – \ phi (y) \ phi (x) = 0 [/ math]
y el campo es anticomutativo si
[matemáticas] \ {\ phi (x), \ phi (y) \} = \ phi (x) \ phi (y) + \ phi (y) \ phi (x) = 0 [/ matemáticas]
Debería poder convencerse de que si el campo es simétrico, entonces [math] \ psi (x, y) = \ psi (y, x) [/ math], y por lo tanto solo la parte simétrica de [math] \ psi [/ math] es importante, y si los campos se anticonmutan, entonces [math] \ psi (y, x) = – \ psi (x, y) [/ math], y solo la parte antisimétrica de [math] \ psi [/ matemáticas] importa. Con estas definiciones fuera del camino, podemos establecer las condiciones bajo las cuales queremos que nuestro teorema se mantenga:
- El lagrangiano para la teoría debe ser un escalar, es decir, debe ser invariante de Lorentz.
- El estado de vacío debe ser invariante de Lorentz.
- Una “partícula” es una excitación de campo localizada.
- El coeficiente del término [matemática] \ phi ^ 2 [/ matemática] en lagrangiano (la masa al cuadrado) debe ser finito.
- Todos los estados tienen una norma positiva definida.
Ahora, establezcamos el teorema de las estadísticas de giro.
Teorema: la función de onda de un sistema de dos partículas con espín entero, llamado bosones, es simétrica en el intercambio de campo. La función de onda de un sistema de dos partículas con espín de medio entero, llamados fermiones, es antisimétrica en el intercambio de campo.
Se puede encontrar una prueba del teorema en el teorema de la estadística Spin – página de Wikipedia.
La teoría de Electroweak, que describe el bosón [matemático] W [/ matemático], satisface estas condiciones y, por lo tanto, el teorema de la estadística de espín.
¿Cómo se aplica esto a la pregunta? Bueno, si un bosón [matemático] W [/ matemático] tuviera un giro de medio entero, sería un fermión y se comportaría de manera totalmente diferente. No puede ser un “fermión con un giro diferente” porque si tiene un giro entero, no es un fermión . Es como preguntar si un automóvil podría ser una bicicleta con dos ruedas más, un asiento y un motor. No, no puede, porque entonces ya no sería una bicicleta.