¿Hay alguna ecuación matemática para demostrar que el campo electrostático es un campo conservador?

El campo electrostático [matemático] \ vec {E} [/ matemático] depende solo de la posición, es decir, [matemático] \ vec {E} = \ vec {E} (\ vec {r}) [/ matemático]. Entonces, el trabajo realizado por [math] \ vec {E} [/ math] es independiente de la ruta y depende solo de las posiciones inicial y final. Esta es la definición de un campo conservador. Entonces, si C es cualquier ruta arbitraria que une dos puntos [math] \ vec {r_0} [/ math] y [math] \ vec {r} [/ math], donde [math] \ vec {r_ {0}} [ / math] es fijo, luego [math] \ int _ {\ vec {r_ {0}}} ^ {\ vec {r}} \ vec {E} .d \ vec {r} = – \ phi (\ vec { r}) [/ math], el signo negativo es por convención y [math] \ phi [/ math] es una función escalar. Entonces, [matemáticas] \ phi (\ vec {r} + d \ vec {r}) = – \ int _ {\ vec {r_ {0}}} ^ {\ vec {r} + d \ vec {r}} \ vec {E} [/ matemáticas]. [matemáticas] d \ vec {r} [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] \ phi (\ vec {r} + d \ vec {r}) – \ phi (\ vec {r}) = – \ int _ {\ vec {r}} ^ {\ vec {r} + d \ vec {r}} \ vec {E} .d \ vec {r} [/ math]. Esto significa que [matemáticas] \ phi (x + dx, y, z) – \ phi (x, y, z) = – \ int _ {(x, y, z)} ^ {(x + dx, y, z )} E_ {x} dx [/ math], de modo que [math] \ frac {\ phi (x + dx, y, z) – \ phi (x, y, z)} {dx} = \ frac {- \ int _ {(x, y, z)} ^ {(x + dx, y, z)} E_ {x} dx} {dx} [/ math], o [math] \ frac {\ partial \ phi} { \ partial x} = – E_ {x} [/ math]. Del mismo modo, [math] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} = – E_ {y} [/ math] y [math] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = – E_ { z} [/ matemáticas]. En forma vectorial, [math] \ vec {E} = – \ nabla \ phi [/ math]. Esta es la ecuación matemática que es consecuencia de la propiedad de que un campo electrostático es conservador.

Sí, de hecho, la ecuación que estás buscando se puede escribir simplemente como:

rizo E = 0

Que es la ley de Faraday sin campo magnético cambiante.