Advertencia justa: sigue una prueba extremadamente matemática.
Es la fuerza que desea de la forma [matemática] \ frac {k} {r ^ 2}, [/ matemática] (como la gravedad newtoniana) y no el potencial. Esto significaría que la energía potencial sería de la forma: [matemática] V = – \ frac {k} {r}. [/ Matemática]
Por lo tanto, la energía total (= hamiltoniana como la fuerza es conservadora) se puede expresar como:
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[matemáticas] E = H = T + V = \ frac {1} {2} m (\ dot {r} ^ 2 + r ^ 2 \ dot {\ theta} ^ 2 – \ frac {k} {r} [ /matemáticas] ,
donde [matemática] m [/ matemática] = masa del objeto, [matemática] r [/ matemática] = coordenada radial, [matemática] \ theta [/ matemática] = coordenada angular y [matemática] t [/ matemática] = tiempo.
Según la versión de Jacobi del principio de menor acción de Hamilton,
[matemáticas] \ Delta \ int \ sqrt {2 (HV)} d \ rho = 0. [/ matemáticas]
Aquí, [math] d \ rho [/ math] significa la métrica. Y claramente, [matemáticas] HV = T, [/ matemáticas] la energía cinética.
Ahora, [math] d \ rho ^ 2 = m (dr ^ 2 + r ^ 2 d \ theta ^ 2). [/ Math]
[math] \ implica d \ rho = \ sqrt {m (r ^ 2 + r ‘^ 2)} d \ theta, [/ math] donde [math] r’ = dr / d \ theta. [/ math]
Ahora, [matemáticas] HV = T = E + \ frac {k} {r} [/ matemáticas] (desde arriba). Por lo tanto, obtenemos, al poner todas las piezas en el principio de menor acción de Hamilton,
[matemáticas] \ Delta \ int \ sqrt {2 (E + k / r)}. \ sqrt {m (r ^ 2 + r ‘^ 2)} d \ theta = 0. [/ matemáticas]
[matemática] \ implica \ frac {\ parcial f (r, r ‘)} {\ parcial r’} – f = constante = l (decir) [/ matemática], donde [matemática] f (r, r ‘) = \ sqrt {2 (E + k / r)}. \ sqrt {m (r ^ 2 + r ‘^ 2)}. [/ math]
[matemáticas] \ frac {\ partial f (r, r ‘)} {\ partial r’} = r ‘^ 2 \ sqrt {\ frac {2m (E + k / r)} {r ^ 2 + r’ ^ 2}} [/ matemáticas]
Ahora, [matemáticas] r ‘^ 2 \ sqrt {\ frac {2m (E + k / r)} {r ^ 2 + r’ ^ 2}} – \ sqrt {2 (E + k / r) .m ( r ^ 2 + r ‘^ 2)} = l. [/ matemáticas]
Cuadrando ambos lados y simplificando aún más,
[matemáticas] r ^ 4 \ frac {2m (E + \ frac {k} {r})} {r ^ 2 + r ‘^ 2} = l ^ 2. [/ matemáticas]
En otras palabras,
[matemáticas] r ‘^ 2 = \ frac {2mr ^ 2} {l ^ 2} (Er ^ 2 + kr – \ frac {l ^ 2} {2m}) [/ matemáticas]
Al integrarnos dentro de los límites de ambos lados, obtenemos:
[matemáticas] \ int_0 ^ {\ theta} d \ theta = \ frac {l ^ 2} {\ sqrt {2m}} \ int_ {r_0} ^ r \ frac {dr} {\ sqrt {r ^ 2 (Er ^ 2 + kr – \ frac {l ^ 2} {2m})}} [/ matemáticas]
donde [math] r_0 [/ math] es la distancia mínima de los dos cuerpos involucrados en el movimiento orbital.
Al resolver la integral obtenemos:
[matemáticas] \ theta = -sin ^ {- 1} (\ frac {-kr + \ frac {l ^ 2} {2m}} {r \ sqrt {k ^ 2 + 2 \ frac {El ^ 2} {m }}}) + \ pi / 2 = cos ^ {- 1} (\ frac {-kr + \ frac {l ^ 2} {2m}} {r \ sqrt {k ^ 2 + 2 \ frac {El ^ 2 } {m}}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica -kr + \ frac {l ^ 2} {m} = rcos \ theta \ sqrt {k ^ 2 + 2 \ frac {El ^ 2} {m}} [/ matemáticas]
Pon [math] \ epsilon = \ sqrt {1 + 2 \ frac {El ^ 2} {mk ^ 2}}. [/ Math]
Por lo tanto, obtenemos, después de un reordenamiento final,
[math] r = \ frac {\ frac {l ^ 2} {mk}} {1+ \ epsilon cos \ theta} [/ math], que es la ecuación de una sección cónica. Ahora considere el valor de [math] \ epsilon [/ math].
[matemáticas] \ epsilon = \ sqrt {1 + 2 \ frac {El ^ 2} {mk ^ 2}}. [/ matemáticas] Claramente, dado que sabemos que este sistema en particular está en un estado enlazado, la energía total debe ser negativa . Así,
[matemáticas] 0 \ leq \ epsilon <1. [/ matemáticas] es decir, la órbita debe ser un círculo o una elipse. En general, dado que un círculo es técnicamente una elipse, la órbita debe ser una elipse. (Primera ley de Kepler).
El resto de las dos leyes de Kepler:
¿Recuerdas la cantidad que llamamos [math] l, [/ math] al principio? En realidad es el momento angular. Y es una constante. Así,
[matemáticas] mr ^ 2 \ frac {d \ theta} {dt} = l [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ frac {1} {2} r ^ 2 \ frac {d \ theta} {dt} = \ frac {l} {2m} = constante = \ frac {dA} {dt}, [/ math ] donde [matemáticas] A [/ matemáticas] es el área. Por lo tanto, el área barrida por el vector de posición radial por unidad de tiempo es una constante. (Segunda ley de Kepler).
Además, al integrar la ecuación anterior, [math] \ frac {lT} {2m} = \ pi ab, [/ math] donde [math] b = a \ sqrt {1- \ epsilon ^ 2} = \ sqrt {a} \ sqrt {\ frac {l ^ 2} {mk}}. [/ math]
[matemáticas] \ implica T = \ frac {2m} {l} \ pi a ^ {\ frac {3} {2}} \ sqrt {\ frac {l ^ 2} {mk}}. [/ math]
[matemáticas] \ implica T ^ 2 = (\ frac {4m \ pi ^ 2} {k}) a ^ 3, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica T ^ 2 \ propto a ^ 3. [/ matemáticas]
Por lo tanto, el cuadrado del período de tiempo de la órbita es directamente proporcional al cubo del semieje mayor. (Tercera ley de Kepler).