¿Por qué el campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación?

Disculpas por cualquier error tipográfico. LaTeX se volvió bastante opaca hacia el final, y no quería descartar ningún factor o usar la notación fasorial en caso de que OP no estuviera familiarizado con él.

EDITAR: Como se señaló en los comentarios, supuse que estábamos hablando de soluciones en el vacío o en la mayor parte de un material. Si hay una guía de onda presente, entonces las soluciones de las ecuaciones de Maxwell dependen necesariamente de las coordenadas transversales, y la suposición de onda plana ya no es válida. Las soluciones de guía de onda no obedecen las siguientes reglas.


El hecho de que el campo eléctrico sea perpendicular a la dirección de propagación es, como usted dijo, el resultado del hecho de que la densidad de carga en el vacío es cero. Por supuesto, esto no es cierto para las ondas que pasan a través de la materia, que puede tener una densidad de carga local distinta de cero.

La forma de ver esto es asumir una solución de ondas planas en propagación. Esencialmente, puedes decir

[matemáticas] \ vec E = \ vec E_0 \ cos (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec B = \ vec B_0 \ cos (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ matemáticas]

Es bastante fácil demostrar que la ley de Gauss se convierte en

[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec E = \ vec k \ cdot \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ rho / \ epsilon_0 [/ math]

Si la densidad de carga es cero, esto equivale a decir que

[matemáticas] \ vec k \ cdot \ vec E = 0 [/ matemáticas]

Mediante un argumento similar, puede mostrar fácilmente que el campo magnético de propagación siempre es perpendicular a la dirección de propagación ([matemática] \ vec k \ cdot \ vec B = 0 [/ matemática]) ya sea que esté en el vacío o no.


Como nota al margen, después de sustituir lo anterior en la ley de Faraday, obtenemos

[matemáticas] \ vec k \ veces \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ frac {\ omega} {c} \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ matemáticas]

Tomando el producto punto,

[matemáticas] \ vec E_0 \ cdot \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ frac {c} {\ omega} \ vec E_0 \ cdot (\ vec k \ times \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t)) = 0 [/ math]

Sin embargo, hacer lo mismo con la ley de Ampere nos da que

[matemáticas] \ vec k \ veces \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ mu_0 \ vec J – \ omega \ epsilon_0 \ mu_0 \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ math]

Reorganizando y haciendo lo mismo (recordando que [math] \ epsilon_0 \ mu_0 = 1 / c ^ 2 [/ math]),

[matemáticas] \ vec B_0 \ cdot \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ frac {\ mu_0 c ^ 2} {\ omega} (\ vec B_0 \ cdot \ vec J ) + \ frac {c ^ 2} {\ omega} \ vec B_0 \ cdot (\ vec k \ times \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t)) [/ math]

Tanto el LHS como el segundo término en el RHS son cero, lo que nos deja con

[matemáticas] \ vec B_0 \ cdot \ vec J = 0 [/ matemáticas]

Esto nos dice que el campo magnético de propagación SIEMPRE es perpendicular a cualquier corriente que exista en el material.

Así que recapitulemos.

  1. [matemática] \ vec E [/ matemática] y [matemática] \ vec B [/ matemática] son siempre perpendiculares (Ley de Faraday).
  2. [math] \ vec B [/ math] y [math] \ vec k [/ math] son siempre perpendiculares (Ley de Gauss para el campo magnético).
  3. [math] \ vec E [/ math] y [math] \ vec k [/ math] son ​​perpendiculares en el vacío, pero no necesariamente en un material con cero [math] \ rho [/ math] (Ley de Gauss para campo eléctrico )
  4. [math] \ vec B [/ math] y [math] \ vec J [/ math] son siempre perpendiculares (Ley de Ampere)

Es importante reconocer que dentro de un material, [math] \ vec E [/ math] y [math] \ vec B [/ math] a veces son mucho menos útiles que sus contrapartes [math] \ vec D [/ math] y [ matemáticas] \ vec H [/ matemáticas]. Las reglas anteriores se aplican generalmente a ambos conjuntos de variables SI Y SOLO SI las relaciones constitutivas entre ellas son lineales e isotrópicas (es decir, [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] y [matemáticas] \ mu [/ matemáticas] son ​​escalares, en oposición para el caso más general de los tensores de rango 2). De lo contrario, tenemos que tener más cuidado.

¿Dirección de propagación de las ondas o la energía? Uno puede tener campos estacionarios donde ExB no es cero pero nada está cambiando. Si quiere decir que hay una densidad de momento, por lo tanto, un flujo de energía, entonces esto se desprende del teorema de conservación de Noether y la simetría del espacio-tiempo. Para campos libres de fuente, es decir, ondas, en el vacío, las ondas deben avanzar a lo largo de la dirección del flujo de energía, de lo contrario, tendría problemas de fuente en los bordes de los paquetes localizados.

Lo más interesante es que incluso se puede hacer que esta imagen funcione para dieléctricos con una permeabilidad y permeabilidad espacialmente variable si se mira desde la perspectiva microscópica. [1406.5123v1] Dieléctricos exactamente solubles y la controversia de Abraham-Minkowskii

Ellos [math] (\ mathbf {E}, \ mathbf {k}) [/ math] no son necesariamente perpendiculares; simplemente observamos que la naturaleza se comporta de esta manera.

Puede tener una polarización longitudinal para fotones masivos. Una forma de demostrar esto es resolviendo las ecuaciones de Proca donde hay 3 polarizaciones observables si los fotones tienen masa y 2 polarizaciones si los fotones no tienen masa. Sin embargo, observamos que los fotones no tienen masa y, en el caso sin masa, Proca se reduce a Maxwell y recuperamos las polarizaciones transversales habituales.

“Entiendo por qué los campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares entre sí”

Bueno … no estoy seguro de hasta qué punto creo eso. Dado que [math] \ mathbf {E} [/ math] y [math] \ mathbf {B} [/ math] no son perpendiculares en general, no me queda claro por qué razón deberían estarlo en el límite de lo lejano -campo de radiación de campo.

Me he encontrado con algunas explicaciones divertidas, no es que estén equivocadas, pero en el mejor de los casos usa el razonamiento circular. Por ejemplo, las explicaciones pueden comenzar como en el caso de la respuesta de Joseph Murray con [math] \ vec E = \ vec E_0 \ cos (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ math] que luego pasa a mostrar usando las ecuaciones de Maxwell que los campos son perpendiculares. La parte divertida, para mí de todos modos, se trata de contemplar la pregunta: ¿De dónde viene [matemáticas] \ vec E = \ vec E_0 \ cos (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ matemáticas] en el ¿primer lugar? Bueno, se trata de resolver la ecuación de onda, una ecuación diferencial parcial de segundo orden derivada de las ecuaciones de Maxwell, una solución exacta para la cual se requieren condiciones de contorno y valores iniciales. Entonces, el razonamiento parece circular, es decir, la razón [math] \ mathbf {E} [/ math] y [math] \ mathbf {B} [/ math] son ​​perpendiculares entre sí es porque he impuesto condiciones límite que fuerzan la solución para salir de esa manera.

No encuentro esto profundamente satisfactorio, y si alguien sabe de una buena explicación, me alegraría saberlo.