Disculpas por cualquier error tipográfico. LaTeX se volvió bastante opaca hacia el final, y no quería descartar ningún factor o usar la notación fasorial en caso de que OP no estuviera familiarizado con él.
EDITAR: Como se señaló en los comentarios, supuse que estábamos hablando de soluciones en el vacío o en la mayor parte de un material. Si hay una guía de onda presente, entonces las soluciones de las ecuaciones de Maxwell dependen necesariamente de las coordenadas transversales, y la suposición de onda plana ya no es válida. Las soluciones de guía de onda no obedecen las siguientes reglas.
El hecho de que el campo eléctrico sea perpendicular a la dirección de propagación es, como usted dijo, el resultado del hecho de que la densidad de carga en el vacío es cero. Por supuesto, esto no es cierto para las ondas que pasan a través de la materia, que puede tener una densidad de carga local distinta de cero.
- ¿Con qué está asociada la energía electromagnética?
- ¿Cómo se destruyen los campos magnéticos por las temperaturas?
- ¿Cómo pueden los magnetares producir campos magnéticos 100GTesla +?
- Dado que mover una bobina en un campo magnético puede generar una corriente, ¿en teoría puede generar electricidad a partir del campo magnético de la Tierra?
- ¿Qué es la carga magnética? ¿Cómo visualizas eso?
La forma de ver esto es asumir una solución de ondas planas en propagación. Esencialmente, puedes decir
[matemáticas] \ vec E = \ vec E_0 \ cos (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vec B = \ vec B_0 \ cos (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ matemáticas]
Es bastante fácil demostrar que la ley de Gauss se convierte en
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec E = \ vec k \ cdot \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ rho / \ epsilon_0 [/ math]
Si la densidad de carga es cero, esto equivale a decir que
[matemáticas] \ vec k \ cdot \ vec E = 0 [/ matemáticas]
Mediante un argumento similar, puede mostrar fácilmente que el campo magnético de propagación siempre es perpendicular a la dirección de propagación ([matemática] \ vec k \ cdot \ vec B = 0 [/ matemática]) ya sea que esté en el vacío o no.
Como nota al margen, después de sustituir lo anterior en la ley de Faraday, obtenemos
[matemáticas] \ vec k \ veces \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ frac {\ omega} {c} \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ matemáticas]
Tomando el producto punto,
[matemáticas] \ vec E_0 \ cdot \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ frac {c} {\ omega} \ vec E_0 \ cdot (\ vec k \ times \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t)) = 0 [/ math]
Sin embargo, hacer lo mismo con la ley de Ampere nos da que
[matemáticas] \ vec k \ veces \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ mu_0 \ vec J – \ omega \ epsilon_0 \ mu_0 \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) [/ math]
Reorganizando y haciendo lo mismo (recordando que [math] \ epsilon_0 \ mu_0 = 1 / c ^ 2 [/ math]),
[matemáticas] \ vec B_0 \ cdot \ vec E_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t) = \ frac {\ mu_0 c ^ 2} {\ omega} (\ vec B_0 \ cdot \ vec J ) + \ frac {c ^ 2} {\ omega} \ vec B_0 \ cdot (\ vec k \ times \ vec B_0 \ sin (\ vec k \ cdot \ vec r – \ omega t)) [/ math]
Tanto el LHS como el segundo término en el RHS son cero, lo que nos deja con
[matemáticas] \ vec B_0 \ cdot \ vec J = 0 [/ matemáticas]
Esto nos dice que el campo magnético de propagación SIEMPRE es perpendicular a cualquier corriente que exista en el material.
Así que recapitulemos.
- [matemática] \ vec E [/ matemática] y [matemática] \ vec B [/ matemática] son siempre perpendiculares (Ley de Faraday).
- [math] \ vec B [/ math] y [math] \ vec k [/ math] son siempre perpendiculares (Ley de Gauss para el campo magnético).
- [math] \ vec E [/ math] y [math] \ vec k [/ math] son perpendiculares en el vacío, pero no necesariamente en un material con cero [math] \ rho [/ math] (Ley de Gauss para campo eléctrico )
- [math] \ vec B [/ math] y [math] \ vec J [/ math] son siempre perpendiculares (Ley de Ampere)
Es importante reconocer que dentro de un material, [math] \ vec E [/ math] y [math] \ vec B [/ math] a veces son mucho menos útiles que sus contrapartes [math] \ vec D [/ math] y [ matemáticas] \ vec H [/ matemáticas]. Las reglas anteriores se aplican generalmente a ambos conjuntos de variables SI Y SOLO SI las relaciones constitutivas entre ellas son lineales e isotrópicas (es decir, [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] y [matemáticas] \ mu [/ matemáticas] son escalares, en oposición para el caso más general de los tensores de rango 2). De lo contrario, tenemos que tener más cuidado.