¿Cuál es el significado físico de los componentes (10 independientes) de la conexión afín en la relatividad general?

Según tengo entendido, la conexión afín, o simplemente la conexión , en la relatividad general estándar es un símbolo de 3 índices, generalmente denotado por [matemáticas] \ Gamma _ {{\ phantom {\ lambda}} \ mu \ nu} ^ \ lambda [/matemáticas]. En una base coordinada , los coeficientes de conexión son los símbolos de Christoffel [math] \ genfrac \ {\} {0pt} {} {\ lambda} {\ mu \ \ \ \ nu} [/ math], que son simétricos en los dos índices inferiores. Los coeficientes de conexión no son componentes de un tensor. En general, en un espacio [math] n [/ math] -dimensional habría [math] n ^ 3 [/ math] tales coeficientes si no hubiera simetrías, por lo que en relatividad general habría 64. Si diseña una matriz “cúbica” [matemática] 4 \ veces 4 \ veces 4 [/ matemática] que contiene estos 64 coeficientes, la “diagonal” a través del grosor es una matriz cuadrada [matemática] 4 \ veces 4 [/ matemática] de 16 coeficientes Exigiendo, ahora, que la simetría de 2 índices sea con respecto a esta diagonal, los 24 coeficientes por encima de la diagonal simplemente duplicarán los 24 coeficientes por debajo de la diagonal, por lo que hay un total de [matemáticas] 16 + 24 = \ mathbf {40 } [/ math] símbolos independientes de Christoffel. Estos son los coeficientes de conexión en una base de coordenadas ( muchos más que [math] \ mathbf {10} [/ math]). Todo esto supone una conexión libre de torsión.

Si también se supone que la conexión es compatible con el tensor métrico en un espacio de Riemann, entonces uno puede resolver los coeficientes de conexión en términos de derivadas parciales de los componentes del tensor métrico. El tensor métrico es un tensor simétrico de 2 covariantes y, por lo tanto , tiene 10 (en lugar de 16) componentes independientes. Pero este hecho no tiene relación con el número de coeficientes de conexión algebraicamente independientes, que parece ser [math] \ mathbf {40}. [/ Math]

Con cierta inquietud publico esto, ya que parece estar en desacuerdo con el punto de vista de Viktor T. Toth, un Corán por el que tengo el mayor respeto y uno que tiene mucha más experiencia que yo en el campo de la física gravitacional. . Estoy seguro de que hay mucho que aprender aquí.

El significado físico de los componentes de la conexión Levi-Civita viene dado por la ecuación geodésica.

[math] \ frac {\ mathrm {d} u ^ \ mu} {\ mathrm {d} \ tau} = – \ Gamma ^ \ mu _ {\ nu \ rho} u ^ \ nu u ^ \ rho [/ math]

Los componentes [matemática] \ Gamma ^ {\ mu} _ {00} [/ matemática] pueden considerarse como el campo gravitacional newtoniano, ya que, en el límite newtoniano, donde [matemática] u \ aprox (c, \ vec { v}), \ tau \ approx t [/ math], y la fuerza gravitacional es independiente de la velocidad, la ecuación geodésica se reduce a

[matemática] \ frac {\ mathrm {d} v ^ i} {\ mathrm {d} t} = -c ^ 2 \ Gamma ^ i_ {00} [/ math]

entonces los tres componentes [matemática] \ Gamma ^ i_ {00} [/ matemática] son ​​proporcionales al campo gravitacional newtoniano [matemática] \ vec {g} [/ matemática].

Los otros componentes de [matemáticas] \ Gamma ^ \ mu _ {\ nu \ rho} [/ matemáticas], entonces, codifican la dependencia de la fuerza gravitacional de la velocidad del objeto, que es necesaria para describir su movimiento fuera del límite newtoniano.