Conocer la gravedad en la superficie de la Tierra es inútil si sabemos que la fórmula dependiente de la distancia para el peso es [matemática] W = \ frac {GMm} {h ^ 2} [/ matemática]. También supongo que en masa del edificio, en realidad quieres saber su peso. Supongo que la única cantidad relevante del edificio es la altura, entonces [matemática] \ Delta h = 3400 \ m [/ matemática]. También asumiremos que el edificio tiene una densidad lineal constante [matemática] \ lambda [/ matemática] con unidades [matemática] \ frac {kg} {m} [/ matemática], la Tierra tiene una masa [matemática] M = 5.97 \ cdot10 ^ {24} \ kg [/ math], un radio [math] h_0 = 6.37 \ cdot10 ^ 6 \ m [/ math], y la constante gravitacional [math] G = 6.67 \ cdot10 ^ {- 11} \ \ frac {N \ cdot m ^ 2} {kg ^ 2} [/ math]. Podemos imaginar que la masa de un segmento horizontal infinitamente pequeño del edificio es [math] dm = \ lambda \ cdot dh [/ math]. También podemos imaginar que el peso de todo el edificio se calcula sumando los pesos de cada segmento individual, por lo que obtenemos [matemática] W = \ int_ {h_0} ^ {h_0 + \ Delta h} dW [/ matemática]. El peso de cada porción individual es [matemática] dW = \ frac {GM \ cdot dm} {h ^ 2} [/ matemática].
Ahora solo necesitamos realizar sustituciones hasta que obtengamos la integral que necesitamos para calcular:
[matemáticas] dW = \ frac {GM \ lambda \ cdot dh} {h ^ 2} [/ matemáticas]
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[matemáticas] W = \ int_ {h_0} ^ {h_0 + \ Delta h} \ frac {GM \ lambda \ cdot dh} {h ^ 2} [/ matemáticas]
Luego sacamos [math] h ^ 2 [/ math] en el numerador.
[matemáticas] W = \ int_ {h_0} ^ {h_0 + \ Delta h} GMh ^ {- 2} \ lambda \ cdot dh [/ matemáticas]
Si sacamos todas las otras constantes, la integral coincide con la forma [math] \ int x ^ n \ cdot dx = \ frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} [/ math]:
[matemáticas] W = GM \ lambda \ int_ {h_0} ^ {h_0 + \ Delta h} h ^ {- 2} \ cdot dh [/ matemáticas]
Ahora evaluamos la integral:
[matemáticas] W = GM \ lambda \ cdot [-h ^ {- 1}] _ {h_0} ^ {h_0 + \ Delta h} [/ matemáticas]
[matemáticas] W = GM \ lambda \ cdot [- \ frac {1} {h}] _ {h_0} ^ {h_0 + \ Delta h} [/ matemáticas]
[matemáticas] W = GM \ lambda \ cdot (- \ frac {1} {h_0 + \ Delta h} + \ frac {1} {h_0}) [/ matemáticas]
Ahora solo conectamos nuestros valores y calculamos:
[matemáticas] W = \ lambda \ cdot6.67 \ cdot10 ^ {- 11} \ \ frac {N \ cdot m ^ 2} {kg ^ 2} \ cdot5.97 \ cdot10 ^ {24} \ kg \ cdot (\ frac {1} {6.37 \ cdot10 ^ 6 \ m} – \ frac {1} {6.37 \ cdot10 ^ 6 \ m + 3400 \ m}) [/ math]
[matemáticas] W = \ lambda \ cdot3.33 \ cdot10 ^ 5 \ \ frac {m ^ 2} {s ^ 2} [/ matemáticas]
